【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)Bx軸的正半軸上.若點(diǎn)P、Q在線段AB上,且PQ為某個(gè)一邊與x軸平行的矩形的對(duì)角線,則稱(chēng)這個(gè)矩形為點(diǎn)P、Q的“涵矩形”。下圖為點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的示意圖.

1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0);

①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合,則點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的周長(zhǎng)為 .

②若點(diǎn)PQ的“涵矩形”的周長(zhǎng)為6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(14),則點(diǎn)E2,1),F1,2),G4,0)中,能夠成為點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的頂點(diǎn)的是 .

2)四邊形PMQN是點(diǎn)P、Q的“涵矩形”,點(diǎn)M在△AOB的內(nèi)部,且它是正方形;

①當(dāng)正方形PMQN的周長(zhǎng)為8,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

②當(dāng)正方形PMQN的對(duì)角線長(zhǎng)度為/2時(shí),連結(jié)OM.直接寫(xiě)出線段OM的取值范圍 .

【答案】1)①9,②(1,2);(2)①(1,5)或(5,1),②

【解析】

1)①根據(jù)題意求出PE,EQ即可解決問(wèn)題.
②求出點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的長(zhǎng)與寬即可判斷.
2)①求出正方形的邊長(zhǎng),分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題.
②點(diǎn)M在直線y=-x+5上運(yùn)動(dòng),設(shè)直線y=-x+5x軸于F,交y軸于E,作ODEFD.求出OM的最大值,最小值即可判斷.

解:(1)①如圖1中,

由題意:矩形PEQF中,EQ=PF=3- ,
OE=EQ,

EPOA,
AP=PQ
PE=QF=OA=3,
∴點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的周長(zhǎng)=3+)×2=9
②如圖2中,

∵點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的周長(zhǎng)為6
∴鄰邊之和為3,
∵矩形的長(zhǎng)是寬的兩倍,
∴點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的長(zhǎng)為2,寬為1,
P14),F1,2),
PF=2,滿(mǎn)足條件,
F12)是矩形的頂點(diǎn).

2)①如圖3中,

∵點(diǎn)PQ的“涵矩形”是正方形,
∴∠ABO=45°,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,6),
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0),
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+6
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3),
∵正方形PMQN的周長(zhǎng)為8,
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3-2=13+2=5,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,5)或(51).

②如圖4中,

∵正方形PMQN的對(duì)角線為,
PM=MQ=1,
易知M在直線y=-x+5上運(yùn)動(dòng),設(shè)直線y=-x+5x軸于F,交y軸于E,作ODEFD,
OE=OF=5,
EF= ,
ODEF,
ED=DF,
OD=EF= ,
OM的最大值為5,最小值為,

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