Question

【題目】如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CE=CF；②線段EF的最小值為2 ；③當(dāng)AD=2時(shí)，EF與半圓相切；④若點(diǎn)F恰好落在 上，則AD=2 ；⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積是16 ．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

Answer 1

【答案】①、③、⑤
【解析】解：①連接CD，如圖1所示．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴CE=CD．
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF．
∴CE=CD=CF．
∴結(jié)論“CE=CF”正確．
②當(dāng)CD⊥AB時(shí)，如圖2所示．

∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4 ．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD= BC=2 ．
根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：
點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的最小值為2 ．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴線段EF的最小值為4 ．
∴結(jié)論“線段EF的最小值為2 ”錯(cuò)誤．
③當(dāng)AD=2時(shí)，連接OC，如圖3所示．

∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等邊三角形．
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2．
∴AD=DO．
∴∠ACD=∠OCD=30°．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴∠ECA=∠DCA．
∴∠ECA=30°．
∴∠ECO=90°．
∴OC⊥EF．
∵EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF與半圓相切．
∴結(jié)論“EF與半圓相切”正確．
④當(dāng)點(diǎn)F恰好落在 上時(shí)，連接FB、AF，如圖4所示．

∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD=90°．
∴∠AGD=∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴ ．
∵FC= EF，
∴FH= FD．
∴FH=DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°．
∴BF=BD．
∴∠FBH=∠DBH=30°．
∴∠FBD=60°．
∵AB是半圓的直徑，
∴∠AFB=90°．
∴∠FAB=30°．
∴FB= AB=4．
∴DB=4．
∴AD=AB﹣DB=4．
∴結(jié)論“AD=2 ”錯(cuò)誤．
⑤∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱，

點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱，
∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，
點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑AM與AB關(guān)于AC對(duì)稱，
點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑NB與AB關(guān)于BC對(duì)稱．
∴EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分．
∴S陰影=2S△ABC
=2× ACBC
=ACBC
=4×4
=16 ．
∴EF掃過的面積為16 ．
∴結(jié)論“EF掃過的面積為16 ”正確．
所以答案是：①、③、⑤．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了垂線段最短和平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；現(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用；由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)才能正確解答此題．