Question

D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)，O是△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；
（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？
（3）當(dāng)OA與BC滿足

 

時(shí)，四邊形DGEF是一個(gè)矩形（直接填答案，不需證明．）

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：

分析：（1）首先利用三角形中位線的性質(zhì)得出DE∥BC，DE=

1

2

BC，同理，GF∥BC，GF=

1

2

BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四邊形DGFE是平行四邊形；
（2）利用（1）中所求，只要鄰邊再相等即可得出答案．
（3）利用（1）中所求，只要鄰邊相互垂直的平行四邊形即為矩形．

解答： （1）證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)．
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC．
同理，GF∥BC，GF=

1

2

BC．
∴DE∥GF，DE=GF．
∴四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）解：解法一：點(diǎn)O的位置滿足兩個(gè)要求：AO=BC，且點(diǎn)O不在射線CD、射線BE上．
∵由（1）得出四邊形DEFG是平行四邊形，
∴點(diǎn)O的位置滿足兩個(gè)要求：AO=BC，且點(diǎn)O不在射線CD、射線BE上時(shí)，
可得GD=

1

2

AO，GE=

1

2

BC，
∴DG=GE，
∴平行四邊形DEFG是菱形；
解法二：點(diǎn)O在以A為圓心，BC為半徑的一個(gè)圓上，但不包括射線CD、射線BE與⊙A的交點(diǎn)．
解法三：過點(diǎn)A作BC的平行線l，點(diǎn)O在以A為圓心，BC為半徑的一個(gè)圓上，但不包括l與⊙A的兩個(gè)交點(diǎn)．

（3）由（1）知，四邊形DEFG是平行四邊形．
當(dāng)OA⊥BC時(shí)，DG⊥GF，
故平行四邊形DGFE是矩形．
故答案是：OA⊥BC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了中點(diǎn)四邊形的判定以及三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．