如圖,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC,BF⊥AE,交AC延長線于F,且垂足為E,則下列結(jié)論:①AD=BF;②∠BAE=∠FBC;③S△ADB=S△ADC;④AC+CD=AB;⑤AD=2BE.其中正確的結(jié)論有
①②④⑤
①②④⑤
.(填寫番號)
分析:證△ACD≌△BCF,推出AD=BF,證△AEB≌△AEF推出BE=EF,推出AD=BF=2BE,求出BD>CD,根據(jù)三角形面積求出△ACD的面積小于△ADB面積,求出AC=AQ,CQ=BQ=CD,即可求出AC+CD=AB.
解答:解:∵∠ACB=90°,BF⊥AE,
∴∠BCF=∠ACD=∠BEA=∠AEF=90°,
∵∠BDE=∠ADC,
∴由三角形內(nèi)角和定理得:∠CAD=∠CBF,
在△ACD和△BCF中,
∠ACD=∠BCF
AC=BC
∠CAD=∠CBF
,
∴△ACD≌△BCF(ASA),
∴AD=BF,∴①正確;
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE,
∵∠CBF=∠FAE,
∴∠BAE=∠FBC,∴②正確;
過D作DQ⊥AB于Q,
則BD>DQ,
∵AE平分∠BAC,BC⊥AC,DQ⊥AB,
∴DC=DQ,
∴BD>CD,
∵△ADB的邊BD上的高和△ABD的面積大于△ACD的面積,∴③錯誤;
∵∠ACB=90°,AC=BC,ACD的邊CD上的高相等,
∴根據(jù)三角形面積公式得:△
∴∠DBQ=45°,
∵DQ⊥AB,
∴∠DQB=∠AQD=∠ACD=90°,
∴∠BDQ=∠DBQ=45°,
∴BQ=DQ=CD,
在直角△ACD和直角△AQD中,AD=AD,CD=DQ,由勾股定理得:AC=AQ,
∴AB=AQ+BQ=AC+CD,∴④正確;
∵BF⊥AE,
∴∠AEB=∠AEF=90°,
在△AEB和△AEF中,
∠AEB=∠AEF
AE=AE
∠BAE=∠FAE
,
∴△AEB≌△AEF(ASA),
∴BE=EF,
∴BF=2BE,
∵AD=BF,
∴AD=2BE,∴⑤正確;
故答案為:①②④⑤.
點評:本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理的應(yīng)用,注意:全等三角形的對應(yīng)邊相等.全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.
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