Question

對于拋物線y=x²+bx+c，給出以下陳述：
①它的對稱軸為x=2；
②它與x軸有兩個交點為A、B；
③△APB的面積不小于27（P為拋物線的頂點）．
求①、②、③得以同時成立時，常數b、c的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數圖象與系數的關系

專題：

分析：①它的對稱軸為x=2，則由對稱軸公式得到b的值；
②它與x軸有兩個交點為A、B，則根的判別式△＞0；
③△APB的面積不小于27（P為拋物線的頂點），則根據根與系數的關系、拋物線頂點坐標公式求得關于c的不等式，由此可以求得c的取值范圍．

解答：解：∵拋物線y=x²+bx+c=（x+

b

2

）²+

4c-b2

4

，拋物線y=x²+bx+c的對稱軸為x=2，
∴-

b

2

=2，則b=-4，
∴P點的縱坐標是

4c-b2

4

=c-4，
又∵它與x軸有兩個交點為A、B，
∴△=b²-4ac=16-4c＞0，且AB=

b2-4c

=

16-4c

=2

4-c

解得 c＜

1

4

，①
又△APB的面積不小于27，
∴

1

2

×2

4-c

×|c-16|≥27，即

4-c

×|c-16|≥27②
由①②解得 c≤-5．
綜上所述，b的值是-4，c的取值范圍是c≤-5．

點評：本題考查了二次函數圖象與系數的關系、拋物線與x軸的交點．熟記拋物線頂點坐標公式是解題的關鍵．