Question

【題目】綜合與探究

閱讀材料：

數(shù)軸是學(xué)習(xí)有理數(shù)的一種重要工具，任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，這樣能夠運用數(shù)形結(jié)合的方法解決一些問題．例如，兩個有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點之間的距離可以用這兩個數(shù)的差的絕對值表示；

在數(shù)軸上，有理數(shù)3與1對應(yīng)的兩點之間的距離為|3﹣1|=2；

在數(shù)軸上，有理數(shù)5與﹣2對應(yīng)的兩點之間的距離為|5﹣（﹣2）|=7；

在數(shù)軸上，有理數(shù)﹣2與3對應(yīng)的兩點之間的距離為|﹣2﹣3|=5；

在數(shù)軸上，有理數(shù)﹣8與﹣5對應(yīng)的兩點之間的距離為|﹣8﹣（﹣5）|=3；……

如圖1，在數(shù)軸上有理數(shù)a對應(yīng)的點為點A，有理數(shù)b對應(yīng)的點為點B，A，B兩點之間的距離表示為|a﹣b|或|b﹣a|，記為|AB|=|a﹣b|=|b﹣a|．

解決問題：

(1)數(shù)軸上有理數(shù)﹣10與﹣5對應(yīng)的兩點之間的距離等于　 　；數(shù)軸上有理數(shù)x與﹣5對應(yīng)的兩點之間的距離用含x的式子表示為　 　；若數(shù)軸上有理數(shù)x與﹣1對應(yīng)的兩點A，B之間的距離|AB|=2，則x等于　 　；

聯(lián)系拓廣：

(2)如圖2，點M，N，P是數(shù)軸上的三點，點M表示的數(shù)為4，點N表示的數(shù)為﹣2，動點P表示的數(shù)為x．

請從A，B兩題中任選一題作答，我選擇　 　題．

A．①若點P在點M，N兩點之間，則|PM|+|PN|=　 　；

②若|PM|=2|PN|，即點P到點M的距離等于點P到點N的距離的2倍，則x等于　 　．

B．①若點P在點M，N之間，則|x+2|+|x﹣4|=　 　；

若|x+2|+|x﹣4|═10，則x=　 　；

②根據(jù)閱讀材料及上述各題的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于　 　．

Answer 1

【答案】(1)5； |x+5|；1或﹣3；(2)A．①6；②0或-8；B．①6； 6或﹣4；②8．

【解析】

(1)根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a-b|，代入數(shù)值運用絕對值可求任意兩點間的距離；

(2)A：①點P在M、N兩點之間，|PM|+|PN|即是M與N之間的距離；②分點P在M、N之間和點P在N左側(cè)兩種情況；

B：①根據(jù)數(shù)軸上絕對值的幾何意義進行解答；②當(dāng)-2≤x≤4時，原式才有最小值8.

解：(1)根據(jù)絕對值的定義：

數(shù)軸上有理數(shù)﹣10與﹣5對應(yīng)的兩點之間的距離等于5；

數(shù)軸上有理數(shù)x與﹣5對應(yīng)的兩點之間的距離用含x的式子表示為|x+5|；

A，B之間的距離|AB|=2，則x等于1或﹣3；

(2)A．①若點P在點M，N兩點之間，則|PM|+|PN|=6；

②若|PM|=2|PN|，P在MN之間或在N左側(cè)，則x等于0或-8；

B．①若點P在點M，N之間，則|x+2|+|x﹣4|=6；

若|x+2|+|x﹣4|═10，則x=6或﹣4；

②|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值，

即：x與4，2，0，﹣2之間距離和最小，這個最小值8．

故答案為：(1)5； |x+5|；1或﹣3；(2)A．①6；②0或-8；B．①6； 6或﹣4；②8．