Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC且AD=

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BC，∠BAD=90°，E、F分別是BD、CD上的中點(diǎn)，連接AE、EF．
（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）若BD=BC，求證：四邊形AEFD是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,三角形中位線定理,平行四邊形的判定,直角梯形

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出EF∥BC，EF=

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BC，求出EF∥AD，EF=AD，即可得出答案；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出四邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出AE=

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BD，求出AE=EF，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵E、F分別是BD、CD上的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，EF=

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BC，
∵AD∥BC且AD=

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BC，
∴EF∥AD，EF=AD，
即EF與AD平行且相等，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）∵EF∥AD，EF=AD，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∵∠DAB=90°，E為BD中點(diǎn)，
∴AE=

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BD，
∵EF=

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BC，BD=BC，
∴AE=EF，
∴四邊形AEFD是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道中等題，難度適中．