Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C，D在⊙O上，且BC=CD，或C作CE⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于E，交AB延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AB=6，AE=4.8，求CF長(zhǎng)；
（3）若AB=4ED，求cos∠ABC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）要證EF是⊙O的切線，只要證∠OCE=90°，根據(jù)OC=OA得到∠OCA=∠OAC，再證∠OCA=∠OAC，從而證∠OCA+∠ECA=90°．
（2）證△COF∽△EAF根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求出OF的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出CF．
（3）先證△CDE∽△ABC得到對(duì)應(yīng)邊成比例，由AB=4DE，BC=CD得到BC=

1

2

AB，從而求出cos∠ABC=

BC

AB

．

解答：（1）證明：連接OC、AC
∵CE⊥AD
∴∠EAC+∠ECA=90°
∵OC=OA
∴∠OCA=∠OAC
又∵BC=CD
∴∠OAC=∠EAC
∴∠OCA=∠EAC
∴∠ECA+∠OCA=90°
∴EF是⊙O的切線．


（2）解：∵EF是⊙O的切線
∴∠OCF=90°
又∵∠AEF=90°∠EFA=∠CFO
∴△COF∽△EAF
∴

OC

AE

=

OF

AF

即

3

4.8

=

OF

OF+3

解得：OF=5
在Rt△OCF中
CF=

OF2-OC2

=

52-32

=4

（3）解：∵EF是⊙O的切線
∴∠ECD=∠EAC
又∵BC=CD
∴∠EAC=∠BAC
∴∠ECD=∠BAC
又∵AB是直徑
∴∠BCA=90°
在△BAC和△DCE中
∠BCA=∠DEC=90°
∠ECD=∠CAB
∴△CDE∽△ABC
∴

CD

DE

=

AB

BC

又∵AB=4DE，CD=BC
∴

BC

1 4 AB

=

AB

BC

∴BC=

1

2

AB
∴cos∠ABC=

BC

AB

=

1

2

點(diǎn)評(píng)：考查了切線的判定，這道題主要利用切線的判定定理來(lái)證明EF是⊙O的切線，并且利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)求線段的長(zhǎng)度．