Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣2ax+m．

（1）當(dāng)a＝2，m＝﹣5時(shí)，求拋物線的最值；

（2）當(dāng)a＝2時(shí)，若該拋物線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，把它沿y軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到新的拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，請(qǐng)判斷k的取值情況，并說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)m＝0時(shí)，平行于y軸的直線l分別與直線y＝x﹣（a﹣1）和該拋物線交于P，Q兩點(diǎn)．若平移直線l，可以使點(diǎn)P，Q都在x軸的下方，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）-9；（2）k＞0，見(jiàn)解析；（3）a＞1或a＜﹣1

【解析】

(1)把a＝2，m＝﹣5代入拋物線解析式即可求拋物線的最值；

(2)把a＝2代入，當(dāng)該拋物線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分拋物線與x軸、y軸分別有一個(gè)交點(diǎn)和拋物線與x軸、y軸交于原點(diǎn)，分別求出m的值，把它沿y軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，列出不等式，即可判斷k的取值；

(3)根據(jù)題意，分a大于0和a小于0兩種情況討論即可得a的取值范圍．

解：(1)當(dāng)a＝2，m＝﹣5時(shí)，

y＝x2﹣4x﹣5

＝（x﹣2）2﹣9

所以拋物線的最小值為﹣9．

(2)當(dāng)a＝2時(shí)，

y＝x2﹣4x+m

因?yàn)樵搾佄锞�與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

①該拋物線與x軸、y軸分別有一個(gè)交點(diǎn)

∴△=16-4m=0，

∴m=4，

∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2

沿y軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到新的拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，

則k＞0；

②該拋物線與x軸、y軸交于原點(diǎn)，

即m=0，

∴y＝x2﹣4x

∵把它沿y軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到新的拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，

∴y＝x2﹣4x+k

此時(shí)△＜0，

即16﹣4k＜0

解得k＞4;

綜上，k＞0時(shí)，函數(shù)沿y軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到新的拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；

(3)當(dāng)m＝0時(shí)，y＝x2﹣2ax

拋物線開(kāi)口向上，與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）（2a，0），a≠0．

直線l分別與直線y＝x﹣（a﹣1）和該拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，

平移直線l，可以使點(diǎn)P，Q都在x軸的下方，

①當(dāng)a＞0時(shí)，如圖1所示，

此時(shí)，當(dāng)x＝0時(shí)，0﹣a+1＜0，解得a＞1；

②當(dāng)a＜0時(shí)，如圖2所示，

此時(shí)，當(dāng)x＝2a時(shí)，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．

綜上：a＞1或a＜﹣1．