【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點C(-4,0),點分別在軸, 軸的正半軸上,線段OA、OB的長度都是方程.的解,且OB>OA。若點從點出發(fā),以每秒1個單位的速度沿射線運動,連結。
(1)判斷三角形ABC的形狀
(2)求出的面積關于點的運動時間秒的函數關系式.
(3)在點P的運動過程中,利用備用圖探究,求周長最短時點P運動的時間。
【答案】(1)△ABC為Rt△;
(2)S△PAD= ;(3)
【解析】試題分析:
(1) 觀察圖形,線段BC、AB、AC與OB的位置關系與射影定理的典型圖形相像,容易聯想到利用與射影定理相關的條件去判斷三角形形狀. 解方程易知OA、OB的長度,可以發(fā)現OB是OA,OC的比例中項,進而利用相似三角形的判定與性質可以判斷△ABC為直角三角形.
(2) 解決三角形面積相關的問題往往需要先確定底和高. 在△AOP中,OA始終不變并且以OA為底的高與y軸平行. 故可以選OA為底,再由點P作出相應的高. 利用高與坐標軸的平行關系,可以通過相似三角形確定所求的函數關系.
(3) 周長最短問題實際是線段之和最短問題. 由題意可知,應該作點A關于直線CB的對稱點A',連接OA',當點P為OA'與CB的交點時,三角形周長最小. 由于題目中要求研究該過程,所以需要在解答時較為詳細地說明上述最小的原因. 求解當點P為OA'與CB的交點時點P的運動時間,先求解點P的坐標. 由于點P為交點,可以聯立直線OA'與CB的方程進行求解. 直線CB的方程易得,直線OA'的方程需要點A'的坐標. 由于點A與點A'關于直線CB對稱,可以利用相似三角形解出點A'的坐標. 得到點P的坐標后可以借助第(2)問中的關系將運動時間求出.
試題解析:
(1) △ABC為直角三角形. 理由如下:
∵OA、OB的長度是方程x2-3x+2=0的解,且OB>OA,
又∵x2-3x+2=0的兩個解為:x1=2,x2=1,
∴OB=2,OA=1,
∵點C的坐標為(-4, 0),
∴OC=4,
∵OB2=4,OAOC==4,
∴OB2= OAOC,即,
∵在△AOB與△BOC中:
,∠AOB=∠BOC=90°,
∴△AOB∽△BOC,
∴∠ABO=∠BCO,∠OAB=∠OBC,
∵在Rt△AOB中,∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠ABO+∠OAB=90°,
∴△ABC為直角三角形.
(2)
過點P作PD⊥AC,垂足為D. (如圖)
∵PD⊥AC,OB⊥AC,
∴PD∥OB,
∴△CPD∽△CBO,
∴,
∵點P從C點出發(fā),以每秒1個單位的速度沿射線CB運動,且點P運動時間為t,
∴CP=1t=t,
∵OB=2,OC=4,
∴在Rt△BOC中, ,
∵,
∴,
∴,
∵OA=1,
∴△AOP的面積.
(3)
延長線段AB至點A',使得AB=A'B,連接OA',交直線CB于點P.
下面說明當點P為OA'與CB的交點時△AOP的周長最小.
①當點P (圖中實際表示該動點的是點P') 在線段CB上運動時(如備用圖1),
連接A'P',
∵AB=A'B,∠ABC=90°,
∴直線CB垂直平分線段AA',
∴AP'=A'P',
∵△AOP'的周長為:OA+OP'+AP',
又∵OA=1,
∴△AOP'的周長為:1+OP'+AP'=1+OP'+A'P',
∴當OP'+A'P'取最小值時,△AOP'的周長最小.
∵當點P'不與點P重合時,線段OP',A'P',OA'構成△OP'A',即OP'+A'P'>OA',
又∵當點P'與點P重合時,OP'+A'P'=OA',
∴當點P'與點P重合時,OP'+A'P'最小,即△AOP'的周長最小,
∴當點P在線段CB上運動時,若點P為OA'與CB的交點,則△AOP的周長最小.
②當點P (圖中實際表示該動點的是點P") 在線段CB延長線上運動時(如備用圖2),
連接A'P",
與①同理可得:AP"=A'P",
又∵△AOP"的周長為:OA+OP"+AP",
與①同理可得:當OP"+A'P"取最小值時,△AOP"的周長最小,
∵當點P"在線段CB延長線上運動時,線段OP",A'P",OA'構成△OP"A',即OP"+A'P">OA',
∴當點P在線段CB延長線上運動時,△AOP的周長均大于當點P為OA'與CB交點時的△AOP的周長.
綜上所述,當點P為OA'與CB交點時,△AOP的周長最小.
下面求解當點P為OA'與CB交點時點P的運動時間t.
過點A'作A'G⊥AC,垂足為G,(如圖3)
∵A'G⊥AC,
∴A'G∥OB,
∴△AGA'∽△AOB
∴,
∵AB=A'B,BO=2,AO=1,
∴, ,
∴A'G=4,AG=2,
∴OG=AG-AO=2-1=1,
∴點A'的坐標為(-1,4),
∴直線OA'的方程為:y=-4x,
∵點B的坐標為(0,2),點C的坐標為(-4,0),
∴直線BC的方程為: ,
∵點P為OA'與CB的交點,
∴聯立直線OA'與BC的方程:
,
解之,得: ,
即當點P的坐標為時,△AOP的周長最小.
由第(2)問的結論知,△AOP的面積,
∵當點P的坐標為時,△AOP的面積,
∴ (秒),
即△AOP的周長最短時點P運動的時間為秒.
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【題目】實驗與探究
(1)在圖①,圖②,圖③中,給出平行四邊形ABCD的頂點A,B,D的坐標,寫出圖①,圖②,圖③中的頂點C的坐標,它們分別是________,___________,____________;
(2)在圖④中,給出平行四邊形ABCD的頂點A,B,D的坐標(如圖所示),求出頂點C的坐標(C點坐標用含a,b,c,d,e,f的代數式表示);
歸納與發(fā)現
(3)通過對圖①,圖②,圖③,圖④的觀察和頂點C的坐標的探究,你會發(fā)現:無論平行四邊形ABCD處于直角坐標系中哪個位置,當其頂點C坐標為(m,n)(如圖④)時,則四個頂點的橫坐標a,c,m,e之間的等量關系為___________,縱坐標b,d,n,f之間的等量關系為__________.(不必證明)
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【題目】如圖,在五邊形ABCDE中,AB=AC=AD=AE, 且AB∥ED,∠AED=70°,則∠DCB=( 。
A. 70° B. 165° C. 155° D. 145°
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【題目】為迎接“均衡教育大檢查”,縣委縣府對通往某偏遠學校的一段全長為1200 米的道路進行了改造,鋪設草油路面.鋪設400 米后,為了盡快完成道路改造,后來每天的工作效率比原計劃提高25%,結果共用13天完成道路改造任務.
(1)求原計劃每天鋪設路面多少米;
(2)若承包商原來每天支付工人工資為1500元,提高工作效率后每天支付給工人的工資增長了20%,完成整個工程后承包商共支付工人工資多少元?
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【題目】(1)觀察下列各式: , , , ,……,由此可推斷 = .
(2)請猜想能表示(1)的特點的一般規(guī)律,用含的等式表示出來為 = .(表示正整數)
(3)請參考(2)中的規(guī)律計算:
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【題目】衢州市“十二五”規(guī)劃綱要指出,力爭到2015年,全市農民人均年純收入超13000元,數13000用科學記數法可以表示為( )
A.13×103
B.1.3×104
C.0.13×104
D.130×102
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