Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），以O(shè)A為邊作等邊△OAB，點(diǎn)B在第一象限，過點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿OC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)速度均為1個(gè)單位/秒．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．求：過點(diǎn)Q作x軸垂線，垂足為H，問t為何值時(shí)，以P，Q，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：過點(diǎn)Q作x軸垂線，垂足為H，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分兩種情況①當(dāng)△PHQ∽△ABC時(shí)，②當(dāng)△QHP∽△ABC時(shí)，分別利用PH與QH的關(guān)系求解即可．

解答：解：如圖，過點(diǎn)Q作x軸垂線，垂足為H，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∵△OAB是等邊三角形，
∴QH=AQ•sin60°=

3 (3-t)

2

，
①當(dāng)△PHQ∽△ABC時(shí)，∠QPH=60°，可得PH=

3

3

QH，
∵PH=AP-AH=3+t-

1

2

（3-t），
∴3+t-

1

2

（3-t）=

3

3

×

3 (3-t)

2

，
解得t=0．
②當(dāng)△QHP∽△ABC時(shí)，∠QPH=30°，可得PH=

3

QH，
∵PH=AP-AH=3+t-

1

2

（3-t），
∴3+t-

1

2

（3-t）=

3

×

3 (3-t)

2

，
解得t=1．
綜上所述，t=0或t=1時(shí)，以P，Q，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論．