Question

如圖1，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．

（1）求直線AB的解析式；

（2）當點P運動到點（，0）時，求此時DP的長及點D的坐標；

（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【解析】（1）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．設直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標代入可求解。

（2）由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數(shù)求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標。

（3）分三種情況進行討論：

①當P在x軸正半軸上時，即t＞0時；

②當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時；即＜t≤0時

③當P在x軸負半軸，D在x軸下方時，即t≤時。

綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值。