Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，∠A＜90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，P1，P2是點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)P1P2，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．

（1）若∠A＝52°，求∠DPE的度數(shù)；

（2）如圖2，在△ABC中，若∠BAC＝90°，用三角板作出點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），試判斷點(diǎn)P1，P2與點(diǎn)A是否在同一直線上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠DPE＝76°；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)證明：∠DPP1+∠EPP2=∠A，根據(jù)∠DPE=180°-（∠PDE+∠DEF）計(jì)算即可；

（2）點(diǎn)P1，P2與點(diǎn)A在同一條直線上．證明∠PAP1+∠PAP2=180°即可．

解：（1）∵P1，P2是點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)，
∴PD=P1D，PE=P2E，
∴∠EDP=2∠DPP1，∠DEP=2∠EPP2，
∵∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°①，
2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180°②
②-①得：∠DPP1+∠EPP2=∠A，
∵∠A=52°，
∴∠DPP1+∠EPP2=52°，
∴∠DPE=180°-（∠PDE+∠DEF）
=180°-2（∠DPP1+∠EPP2）
=180°-104°=76°．

（2）點(diǎn)P1，P2與點(diǎn)A在同一條直線上．

理由如下：連接AP，AP1，AP2．

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得∠4＝∠1，∠3＝∠2，

∵∠BAC＝90°，即∠1+∠2＝90°，

∴∠3+∠4＝90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即∠P1AP2＝180°，

∴點(diǎn)P1，P2與點(diǎn)A在同一條直線上．