Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（10，0），B（4，8），C（0，8），連接AB，BC，點(diǎn)P在x軸上，從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A﹣B﹣C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P，M兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求AB長(zhǎng)；

（2）設(shè)△PAM的面積為S，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出S取最大值時(shí)，點(diǎn)P的位置；

（3）t為何值時(shí)，△APM為直角三角形？

Answer 1

【答案】(1)10;(2)中點(diǎn)處；（3）或.

【解析】試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)度；
（2）先判斷出點(diǎn)在上，然后表示出即可用三角形的面積公式即可；
（3）為直角三角形時(shí)，由于沒(méi)有規(guī)定哪個(gè)頂點(diǎn)是直角頂點(diǎn)，所以分三種情況進(jìn)行討論；利用銳角三角函數(shù)或相似三角形的性質(zhì)即可．

試題解析：

(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵A(10,0),B(4,8)C(0,8)，

∴AO=10，BD=8，AD=6，

由勾股定理可求得：AB=10，

(2)∵AB=10，

∴10÷2=5，

∴點(diǎn)M在AB上，

作ME⊥OA于E，

∴△AEM∽△ADB，

∴t=5時(shí)，S取最大值，此時(shí)PA=10t=5，

即：點(diǎn)P在OA的中點(diǎn)處.

(3)由題意可知：

當(dāng)點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，

∴PM⊥AP，

∴PA=10t，

若時(shí),點(diǎn)M在AB上,如圖2,

此時(shí)AM=2t，

若時(shí),點(diǎn)M在BC上,如圖3,

∴CM=142t，OP=t，

∴OP=CM，

∴t=142t，

當(dāng)點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)時(shí)，

此時(shí),∠MAP不可能為 此情況不符合題意；

當(dāng)點(diǎn)M是直角頂點(diǎn)時(shí)，

若時(shí),M在AB上,如圖4,

此時(shí)，AM=2t，AP=10t

若時(shí),點(diǎn)M在BC上,如圖5,

過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，

此時(shí)，CM=142t，OP=t，

∴ME=8，PE=CMOP=143t，

∴EA=10(142t)=2t4，

∴∠PME=∠MAP，

∴△PME∽△MAE，

∴64=(143t)(2t4)，

故此情況不存在；

綜上所述,t=或