Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3，頂點(diǎn)為M．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ＝m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出m的取值范圍；

（3）探索：線段BM上是否存在點(diǎn)N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S四邊形ACPQ＝﹣m2+m+；m的取值范圍為1≤m＜3；（3）線段BM上存在點(diǎn)N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC為等腰三角形．

【解析】

（1）可根據(jù)OB、OC的長(zhǎng)得出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．

（2）可將四邊形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC兩部分來求解．先根據(jù)拋物線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出三角形AOC直角邊OA的長(zhǎng)，據(jù)此可根據(jù)上面得出的四邊形的面積計(jì)算方法求出S與m的函數(shù)關(guān)系式．

（3）先根據(jù)拋物線的解析式求出M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出直線BM的解析式，據(jù)此可設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出CM、MN、CN的長(zhǎng)，然后分三種情況進(jìn)行討論：①CM＝MN；②CM＝CN；③MN＝CN．根據(jù)上述三種情況即可得出符合條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵OB＝OC＝3，

∴B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c

∴，

解得

∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）

設(shè)直線MB的解析式為y＝kx+n，代入B（3，0），M（1，4）

則有

解得

∴直線MB的解析式為y＝﹣2x+6

∵PQ⊥x軸，OQ＝m，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6）

S四邊形ACPQ＝S△AOC+S梯形PQOC＝AOCO+（PQ+CO）OQ（1≤m＜3）

＝×1×3+（﹣2m/span>+6+3）m＝﹣m2+m+；

（3）線段BM上存在點(diǎn)N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC為等腰三角形，

∵CM＝，CN＝，MN＝

①當(dāng)CM＝NC時(shí)，，

解得x1＝，x2＝1（舍去）

此時(shí)N（，），

②當(dāng)CM＝MN時(shí)，，

解得x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），

此時(shí)N（1+，4﹣）

③當(dāng)CN＝MN時(shí)，＝

解得x＝2，此時(shí)N（2，2）．