【題目】如圖,已知直線l與⊙O相離,OA⊥l于點A,OA=5,OA與⊙O相交于點P,AB與⊙O相切于點B, BP的延長線交直線l于點C.
(1)試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)若PC=,求⊙O的半徑和線段PB的長;
(3)若在⊙O上存在點Q,使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形,求⊙O的半徑r的取值范圍.
【答案】(1)AB=AC;理由見解析(2)⊙O的半徑為3,線段PB的長為;(3)≤r<5.
【解析】試題分析:(1)連接OB,根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°,推出∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,求出∠ACP=∠ABC,根據(jù)等腰三角形的判定推出即可;
(2)延長AP交⊙O于D,連接BD,設圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5-r,根據(jù)AB=AC推出52-r2=(2)2-(5-r)2,求出r,證△DPB∽△CPA,得出,代入求出即可;
(3)根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上,作出線段AC的垂直平分線MN,作OE⊥MN,求出OE<r,求出r范圍,再根據(jù)相離得出r<5,即可得出答案.
試題解析:(1)AB=AC,理由如下:
連接OB.
∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,
∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,
∵∠OPB=∠APC,
∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=AC;
(2)延長AP交⊙O于D,連接BD,
設圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5-r,
則AB2=OA2-OB2=52-r2,
AC2=PC2-PA2=(2)2-(5-r)2,
∴52-r2=(2)2-(5-r)2,
解得:r=3,
∴AB=AC=4,
∵PD是直徑,
∴∠PBD=90°=∠PAC,
又∵∠DPB=∠CPA,
∴△DPB∽△CPA,
∴,
∴,
解得:PB=.
∴⊙O的半徑為3,線段PB的長為;
(3)作出線段AC的垂直平分線MN,作OE⊥MN,則可以推出OE=AC=AB=
又∵圓O與直線MN有交點,
∴OE=≤r,
,
25-r2≤4r2,
r2≥5,
∴r≥,
又∵圓O與直線相離,
∴r<5,
即≤r<5.
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與直線y=x+1相交于點A(-1,m)和點B(n,5).
(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)在給定的平面直角坐標系中,畫出這兩個函數(shù)的大致圖象;
(3)結(jié)合圖象直接寫出x2+bx+c>x+2時x的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,以O為圓心,適當長為半徑畫弧,交x軸于點M,交y軸于點N,再分別以點M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧在第二象限交于點P.若點P的坐標為(2a,b+1),則a與b的數(shù)量關(guān)系為( 。
A. a=b B. 2a-b=1 C. 2a+b=-1 D. 2a+b=1
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【題目】已知實數(shù)a,b,若a<b,則下列結(jié)論正確的是( )
A.a﹣3>b﹣3
B.﹣2+a>﹣2+b
C.
D.﹣2a>﹣2b
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【題目】將一元二次方程x2+3=x化為一般形式后,二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為( )
A.0、3
B.0、1
C.1、3
D.1、﹣1
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【題目】某中學在舉行“弘揚中華傳統(tǒng)文化讀書月”活動結(jié)束后,對八年級(1)班40位學生所閱讀書籍數(shù)量情況的統(tǒng)計結(jié)果如表所示:
閱讀書籍數(shù)量(單位:本) | 1 | 2 | 3 | 3以上 |
人數(shù)(單位:人) | 12 | 16 | 9 | 3 |
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是( )
A. 2,2B. 1,2C. 3,2D. 2,1
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