Question

如圖，拋物線y=a（x-1）²+4與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，連接BD、BC，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△BCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專(zhuān)題：

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0）代入y=a（x-1）²+4可求出a的值，進(jìn)而可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)B、C點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線BC的解析式，則可以求得對(duì)稱(chēng)軸與直線BC的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，易求DE的長(zhǎng)度；由三角形的面積公式進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）代入y=a（x-1）²+4，得
a（-1-1）²+4=0
解得a=-1．
則該拋物線解析式為：y=-（x-1）²+4；

（2）如圖，設(shè)直線BC與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E．
∵拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），對(duì)稱(chēng)軸為x=1，且C（0，4）．
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴B（3，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則

3k+b=0 b=4

，
解得

k=- 4 3 b=4

．
則直線BC的解析式為：y=-

4

3

x+4．
∴

y=- 4 3 x+4 x=1

，
解得

x=1 y= 8 3

，
∴E（1，

8

3

），
∴DE=4-

8

3

=

4

3

．
則△BCD的面積=

1

2

DE•OB=

1

2

×

4

3

×3=2，即△BCD的面積是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．解答（2）題時(shí)，涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，拋物線的性質(zhì)以及三角形的面積求法．