Question

如圖，直線y=-x+5與雙曲線y=

4

x

交于A、B兩點，點C為雙曲線A、B之間一點，求△ABC的最大面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：△ABC的面積最大時，點C到AB的距離最大，因此C點一定是平行于直線AB且與雙曲線相切的切點．相切也就是這條直線與雙曲線只有一個交點，求△ABC的最大面積，再根據(jù)判別式的意義確定平移后的直線解析式，得到平移的距離，則可根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：設(shè)這條直線解析式為：y=-x+b，代入y=

4

x

得：
-x+b=

4

x

 x²-bx+4=0
△=b²-16=0
 b=4或-4（不合題意）
解得：x=2，y=2
 故直線解析式為：y=-x+4
 C點坐標(biāo)為（2、2）
由解析式可知兩直線與y軸交點為（0、4）（0、5）兩直線與坐標(biāo)軸夾角為45°，
 故兩直線間距離為：

2

2

，
解方程組

y=-x+5 y= 4 x

得

x=4 y=1

或

x=1 y=4

，
則B（4，1），A（1，4）
所以AB=

(4-1)2+(1-4)2

=3

2

，
 S_△ABC=

1

2

AB×h=

1

2

×3

2

×

2

2

=1.5
所以△ABC的最大面積=1.5．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．