Question

把拋物線y=-

1

3

x²向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到一條新拋物線．
（1）求所得的新拋物線的解析式；
（2）求新拋物線的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）對(duì)于新拋物線，x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大？x取何值時(shí)，y隨x的增大而減��？
（4）對(duì)于新拋物線，x取何值時(shí)，y有最大值（或最小值），并求出最大（最�。┲担�

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律即可得出平移后拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點(diǎn)式：y=a（x-h）²+k，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對(duì)稱軸為x=h，由此求解即可；
（3）由函數(shù)圖象的開(kāi)口方向及對(duì)稱軸方程，利用二次函數(shù)的增減性即可求解；
（4）由于a＜0，拋物線開(kāi)口向下，可知新拋物線在頂點(diǎn)處有最大值，由此求解即可．

解答：解：（1）把拋物線y=-

1

3

x²向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，所得的新拋物線的解析式為y=-

1

3

（x+3）²+4；

（2）∵y=-

1

3

（x+3）²+4，a=-

1

3

＜0，
∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=-3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4）；

（3）∵拋物線y=-

1

3

（x+3）²+4的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=-3，
∴當(dāng)x＜-3時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞-3時(shí)，y隨x的增大而減小；

（4）∵y=-

1

3

（x+3）²+4，a=-

1

3

＜0，
∴當(dāng)x=-3時(shí)，y有最大值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減�。粁＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．
②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減小；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．
同時(shí)考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．