【題目】如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,直徑AB=4,直線EF經(jīng)過點C,AD⊥EF于點D,∠ACD=∠B.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若AD=1,求BC的長;
(3)在(2)的條件下,求圖中陰影部分的面積.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】
(1)連接OC,由OB=OC,利用等邊對等角得到∠BCO=∠B,由∠ACD=∠B,得到∠ACD+∠OCA=90°,即可得到EF為圓O的切線;
(2)證明Rt△ABC∽Rt△ACD,可求出AC=2,由勾股定理求出BC的長即可;
(3)求出∠B=30°,可得∠AOC=60°,在Rt△ACD中,求出CD,然后用梯形ADCO和扇形OAC的面積相減即可得出答案.
(1)證明:連接OC,
∵AB是⊙O直徑,
∴∠ACB=90°,即∠BCO+∠OCA=90°,
∵OB=OC,
∴∠BCO=∠B,
∵∠ACD=∠B,
∴∠ACD+∠OCA=90°,
∵OC是⊙O的半徑,
∴EF是⊙O的切線;
(2)解:在Rt△ABC和Rt△ACD中,
∵∠ACD=∠B,∠ACB=∠ADC,
∴Rt△ABC∽Rt△ACD,
∴,
∴AC2=ADAB=1×4=4,
∴AC=2,
∴;
(3)解:∵在Rt△ABC中,AC=2,AB=4,
∴∠B=30°,
∴∠AOC=60°,
在Rt△ADC中,∠ACD=∠B=30°,AD=1,
∴CD===,
∴S陰影=S梯形ADCO﹣S扇形OAC=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小如同學(xué)設(shè)計的“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程
已知:,.
求作:的外接圓.
作法:如圖,
①分別以點和為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧相交于,兩點;
②作直線,交于點;
③以為圓心,為半徑作.
即為所求作的圓.
根據(jù)小如同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形(保留作圖痕跡).
(2)完成下面的證明:
證明:連接,,,,,
由作圖,,,
且(__________)(填推理的依據(jù)).
,
(__________)(填推理的依據(jù)).
,
,,三點在以為圓心,為直徑的圓上.
為的外接圓.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表給出了代數(shù)式ax2+bx+c與x的一些對應(yīng)值:
x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
ax2+bx+c | … | 3 |
| ﹣1 |
| 3 | … |
(1)請在表內(nèi)的空格中填入適當?shù)臄?shù);
(2)設(shè)y=ax2+bx+c,則當x取何值時,y<0;
(3)當0<x<3,求x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于題目“拋物線l1:(﹣1<x≤2)與直線l2:y=m(m為整數(shù))只有一個交點,確定m的值”;甲的結(jié)果是m=1或m=2;乙的結(jié)果是m=4,則( )
A.只有甲的結(jié)果正確
B.只有乙的結(jié)果正確
C.甲、乙的結(jié)果合起來才正確
D.甲、乙的結(jié)果合起來也不正確
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張老師計劃通過步行鍛煉身體,她用運動手環(huán)連續(xù)記錄了6天的運動情況,并用統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖記錄數(shù)據(jù):
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 | 4月6日 |
步行數(shù)(步) | 10672 | 4927 | 5543 | 6648 | ||
步行距離(公里) | 6.8 | 3.1 | 3.4 | 4.3 | ||
卡路里消耗(千卡) | 157 | 79 | 91 | 127 | ||
燃燒脂肪(克) | 20 | 10 | 12 | 16 |
(1)請你將手環(huán)記錄的4月5日和4月6日的數(shù)據(jù)(如圖①)填入表格
(2)請你將條形統(tǒng)計圖(如圖②)補充完整
(3)張老師這6天平均每天步行約______公里,張老師分析發(fā)現(xiàn)每天步行距離和消耗的卡路里近似成正比例關(guān)系,她打算每天消耗的卡路里至少達到100千卡,那么每天步行距離大約至少為______公里(精確到0.1公里)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實踐:
操作與發(fā)現(xiàn):
如圖,已知A,B兩點在直線CD的同一側(cè),線段AE,BF均是直線CD的垂線段,且BF在AE的右邊,AE=2BF,將BF沿直線CD向右平移,在平移過程中,始終保持∠ABP=90°不變,BP邊與直線CD相交于點P,點G是AE的中點,連接BG.
探索與證明:求證:
(1)四邊形EFBG是矩形;
(2)△ABG∽△PBF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+mx+n交x軸于點A(﹣2,0)和點B,交y軸于點C(0,2).
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若點M在拋物線上,且S△AOM=2S△BOC,求點M的坐標;
(3)如圖2,設(shè)點N是線段AC上的一動點,作DN⊥x軸,交拋物線于點D,求線段DN長度的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校開展“書香校園”活動以來,受到同學(xué)們的廣泛關(guān)注,學(xué)校為了解全校學(xué)生課外閱讀的情況,隨機調(diào)查了部分學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書的次數(shù),并制成如圖不完整的統(tǒng)計表.學(xué)生借閱圖書的次數(shù)統(tǒng)計表
借閱圖書的次數(shù) | 0次 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次及以上 |
人數(shù) | 7 | 13 | a | 10 | 3 |
請你根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息,解答下列問題:
______,______.
該調(diào)查統(tǒng)計數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______,眾數(shù)是______.
請計算扇形統(tǒng)計圖中“3次”所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
若該校共有2000名學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù).
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