Question

【題目】如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)(x>0,m是常數(shù))的圖象經(jīng)過A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB.

(1)若△ABD的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求證：DC∥AB；

(3)當(dāng)AD=BC時(shí)，求直線AB的函數(shù)解析式.

Answer 1

【答案】（1）(3, )；（2）見解析；（3）y=2x+6或y=x+5.

【解析】

（1）由函數(shù)（x>0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過A（1，4），可求m=4，由已知條件可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，），又由△ABD的面積為4，即a（4-）=4，得a=3，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）；

（2）依題意可證， ，，所以DC∥AB；

（3）由于DC∥AB，當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)AD∥BC時(shí)，四邊形ADCB是平行四邊形，由（2）得，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2），設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，用待定系數(shù)法可以求出解析式（把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入），是y=-2x+6．

②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，可求點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1），設(shè)直線AB的函數(shù)解析式y=kx+b，用待定系數(shù)法可以求出解析式（把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入），是y=-x+5．

(1)∵函數(shù) (x>0,m是常數(shù))圖象經(jīng)過A(1,4)，

∴m=4.

∴y= ，

設(shè)BD,AC交于點(diǎn)E,據(jù)題意,可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a, ),D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, ),E點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, )，

∵a>1，

∴DB=a,AE=4.

由△ABD的面積為4,即a(4)=4，得a=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, )；

(2)證明：據(jù)題意,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0)，DE=1，

∵a>1，

易得EC=，BE=a1，

∴.

∴且∠AEB=∠CED，

∴△AEB∽△CED，

∴∠ABE=∠CDE，

∴DC∥AB；

(3)∵DC∥AB，

∴當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)AD∥BC時(shí),四邊形ADCB是平行四邊形,由(2)得，

=a1，

∴a1=1，得a=2.

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,2).

設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，

得 ，

解得.

故直線AB的函數(shù)解析式是y=2x+6.

②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，

∴a=4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,1).

設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，

得 ，

解得 ，

故直線AB的函數(shù)解析式是y=x+5.

綜上所述，所求直線AB的函數(shù)解析式是y=2x+6或y=x+5.