Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A，B在拋物線y=x²+kx+5的對(duì)稱軸l上，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，5），B（3，1），C（7，5）．點(diǎn)P從A出發(fā)，沿A→B→C→A運(yùn)動(dòng)一周，點(diǎn)P在AB或CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位；點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2

2

個(gè)單位．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，x軸與拋物線圍成的封閉區(qū)域記作M（陰影部分，含邊界）．
（1）求k的值及拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如果在點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，△ABC也開始沿對(duì)稱軸l以每秒1個(gè)單位的速度向下平移（當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABC也停止運(yùn)動(dòng)）．經(jīng)過幾秒時(shí)，點(diǎn)P第一次剛好進(jìn)入?yún)^(qū)域M？并求出使點(diǎn)P在區(qū)域M的t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等得到直線AB的方程，再根據(jù)拋物線y=x²+kx+5的對(duì)稱軸公式得到關(guān)于k的方程，求得k的值，從而得到拋物線的解析式，再根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t≤2；②當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2＜t≤4；③當(dāng)點(diǎn)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4＜t≤6時(shí)；討論用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在AB和BC上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)開始進(jìn)入?yún)^(qū)域M，到運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)離開區(qū)域M．②當(dāng)點(diǎn)P在CA上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)開始進(jìn)入?yún)^(qū)域M，一直到A點(diǎn)．討論求出使點(diǎn)P在區(qū)域M的t的取值范圍．

解答：解：（1）∵A（3，5），B（3，1），
∴直線AB的方程為x=3，
∵拋物線y=x²+kx+5的對(duì)稱軸為x=-

k

2

，
∴-

k

2

=3，
∴k=-6，
∴y=x²-6x+5，
令y=0，x²-6x+5=0，
解得x₁=1，x₂=5，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（5，0）；

（2）設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)Q．
∵A（3，5），B（3，1），C（7，5），
∴AB=AC=4，BC=

(7-3)2+(5-1)2

=4

2

，
∴∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°．
①當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t≤2，
∵PA=2t，A（3，5），
∴PQ=AQ-AP=5-2t，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（3，5-2t）；
②當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2＜t≤4，
如圖，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，PE⊥AB于點(diǎn)E．
∵PB=2

2

（t-2），
∴PE=BE=2（t-2）=2t-4，
∴OD=OQ+QD=OQ+PE=3+2t-4=2t-1，PD=EQ=BE+BQ=2t-4+1=2t-3，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（2t-1，2t-3）；
③當(dāng)點(diǎn)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4＜t≤6時(shí)，
∵CP=2（t-4）=2t-8，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)=OQ+AP=OQ+AC-CP=3+4-（2t-8）=15-2t，
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=AQ=5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（15-2t，5）；

（3）設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q，即第一次剛好進(jìn)入?yún)^(qū)域M，
由題意，得（2+1）t=5，
解得t=

5

3

，
即當(dāng)t=

5

3

時(shí)，點(diǎn)P第一次剛好進(jìn)入?yún)^(qū)域M；
設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為G（1，0），F(xiàn)（5，0），則QG=QF=2．
分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在AB和BC上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)開始進(jìn)入?yún)^(qū)域M，到運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)離開區(qū)域M．
當(dāng)△ABC平移到△A′B′C′的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，
∵△PQB′是等腰直角三角形，
∴QB′=PQ=2，
∴t=

BB′

1

=1+2=3，
∴

5

3

≤t≤3；
②當(dāng)點(diǎn)P在CA上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)開始進(jìn)入?yún)^(qū)域M，一直到A點(diǎn)．
當(dāng)△ABC平移到△A″B″C″的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，
∵A″P=QF=2，
∴C″P=A″C″-A″P=4-2=2，
∴t=4+

2

2

=5，
∴5≤t≤6．
綜上所述，符合條件的t值是

5

3

≤t≤3或5≤t≤6．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求直線的解析式，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線的對(duì)稱軸公式，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，方程思想的運(yùn)用，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．