Question

已知x、y、z都不小于0，且滿足3y+2z=3-x及3y+z=4-3x，求函數(shù)u=3x-2y+4z的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值問題

專題：計(jì)算題

分析：解關(guān)于y與z的方程組

3y+2z=3-x① 3y+z=4-3x②

，得z=2x-1，y=-

5

3

x+

5

3

，再利用x、y、z都不小于0得到

x≥0 2x-1≥0 - 5 3 x+ 5 3 ≥0

，解不等式組可確定x的取值范圍

1

2

≤x≤1，
然后把z=2x-1，y=-

5

3

x+

5

3

代入u=3x-2y+4z得到關(guān)于u與x的一次函數(shù)關(guān)系u=

43

3

x-

22

3

（

1

2

≤x≤1），再利用一次函數(shù)的性質(zhì)確定u的最大和最小值．

解答：解：

3y+2z=3-x① 3y+z=4-3x②

，
①-②得z=2x-1③，
把③代入②得3y+2x-1=4-3x，
所以y=-

5

3

x+

5

3

，
∵x、y、z都不小于0，
∴

x≥0 2x-1≥0 - 5 3 x+ 5 3 ≥0

，解得

1

2

≤x≤1，
∵u=3x-2y+4z=3x-2（-

5

3

x+

5

3

）+4（2x-1）
=

43

3

x-

22

3

，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，u的值最小，最小值=

43

3

×

1

2

-

22

3

=-

1

6

；
當(dāng)x=1時(shí)，u的值最大，最大值=

43

3

-

22

3

=7，
即函數(shù)u=3x-2y+4z的最大值與最小值分別為7，-

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)最值問題：熟練掌握一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）的性質(zhì)（當(dāng)k＞0，圖象經(jīng)過(guò)第一，三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0，圖象經(jīng)過(guò)第二，四象限，y隨x的增大而減�。�．