【答案】
分析:(1)過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E,作BF⊥x軸于點(diǎn)F.依題意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得點(diǎn)B的坐標(biāo).設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,把已知坐標(biāo)代入可求解.
(2)由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到,證明△ABD≌△AOP.AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等邊三角形.利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函數(shù)求出BG=BD•cos60°,DG=BD•sin60°.然后求出OH,DH,然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)本題分三種情況進(jìn)行討論,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0):
①當(dāng)P在x軸正半軸上時(shí),即t>0時(shí),關(guān)鍵是求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo),方法同(2),在直角三角形DBG中,可根據(jù)BD即OP的長(zhǎng)和∠DBG的正弦函數(shù)求出DG的表達(dá)式,即可求出DH的長(zhǎng),根據(jù)已知的△OPD的面積可列出一個(gè)關(guān)于t的方程,即可求出t的值.
②當(dāng)P在x軸負(fù)半軸,但D在x軸上方時(shí).即
<t≤0時(shí),方法同①類似,也是在直角三角形DBG用BD的長(zhǎng)表示出DG,進(jìn)而求出GF的長(zhǎng),然后同①.
③當(dāng)P在x軸負(fù)半軸,D在x軸下方時(shí),即t≤
時(shí),方法同②.
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值.
解答:解:(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E,作BF⊥x軸于點(diǎn)F.由已知得:
BF=OE=2,OF=
=
,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(
,2)
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b(k≠0),則有
.
解得
.
∴直線AB的解析式是y=
x+4;
(2)如圖2,∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到,
∴△ABD≌△AOP,
∴AP=AD,∠DAB=∠PAO,
∴∠DAP=∠BAO=60°,
∴△ADP是等邊三角形,
∴DP=AP=
.
如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H,延長(zhǎng)EB交DH于點(diǎn)G,則BG⊥DH.
方法(一)
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.
∴BG=BD•cos60°=
×
=
.
DG=BD•sin60°=
×
=
.
∴OH=EG=
,DH=
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
,
)
方法(二)
易得∠AEB=∠BGD=90°,∠ABE=∠BDG,∴△ABE∽△BDG,
∴
;而AE=2,BD=OP=
,BE=2
,AB=4,
則有
,解得BG=
,DG=
;
∴OH=
,DH=
;
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
,
).
(3)假設(shè)存在點(diǎn)P,在它的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,使△OPD的面積等于
.
設(shè)點(diǎn)P為(t,0),下面分三種情況討論:
①當(dāng)t>0時(shí),如圖,BD=OP=t,DG=
t,
∴DH=2+
t.
∵△OPD的面積等于
,
∴
,
解得
,
(舍去)
∴點(diǎn)P
1的坐標(biāo)為(
,0).
②∵當(dāng)D在x軸上時(shí),根據(jù)勾股定理求出BD=
=OP,
∴當(dāng)
<t≤0時(shí),如圖,BD=OP=-t,DG=-
t,
∴GH=BF=2-(-
t)=2+
t.
∵△OPD的面積等于
,
∴
,
解得
,
,
∴點(diǎn)P
2的坐標(biāo)為(
,0),點(diǎn)P
3的坐標(biāo)為(
,0).
③當(dāng)t≤
時(shí),如圖3,BD=OP=-t,DG=-
t,
∴DH=-
t-2.
∵△OPD的面積等于
,
∴
(-t)【-(2+
t)】=
,
解得
(舍去),
∴點(diǎn)P
4的坐標(biāo)為(
,0),
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P
1(
,0)、P
2(
,0)、P
3(
,0)、
P
4(
,0).
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用,難度較大.