【題目】如圖,在正方形中,是對(duì)角線與的交點(diǎn),是邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與重合),過點(diǎn)作垂直交于點(diǎn),連結(jié).下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④若,則的最小值是1.其中正確結(jié)論是( )
A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④
【答案】A
【解析】
根據(jù)正方形的性質(zhì),依次判定△CNB≌△DMC,△AON≌△BOM,△OCM≌△OBN,,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論.
∵正方形ABCD中,CD=BC,∠BCD=90,
∴∠BCN+∠DCN=90,
又∵CN⊥DM,
∴∠CDM+∠DCN=90,
∴∠BCN=∠CDM,
又∵∠CBN=∠DCM=90,
∴△CNB≌△DMC(ASA),
∴BN=CM,
故AN=BM
∵AO=BO,∠OAN=∠OBM=45°,
∴△AON≌△BOM,
∵BO=CO,∠OCM=∠OBN =45°,
∴△OCM≌△OBN,
∴=S△OBN+ S△BOM= S△OBN+S△AON=S△AOB=
即,①正確;
∵△AON≌△BOM,
∵∠MON=∠BOM+∠BON=∠AON +∠BON=90°,ON=OM
∴△MNO是等腰直角三角形,
∴MN=
∵△MNB是直角三角形,
∴
又CM=BN
∴
即,②正確;
∵∠CON=90°+∠BON, ∠DOM=90°+∠COM,∠BON=∠COM
∴∠CON=∠DOM
又CO=DO, ON=OM,
∴,③正確;
④∵AB=2,
∴S正方形ABCD=4,
∵△OCM≌△OBN,
∴四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1,即四邊形BMON的面積是定值1,
∴當(dāng)△MNB的面積最大時(shí),△MNO的面積最小,
設(shè)BN=x=CM,則BM=2x,
∴△MNB的面積=x(2x)= x2+x= (x1)2+,
∴當(dāng)x=1時(shí),△MNB的面積有最大值,
此時(shí)S△OMN的最小值是1 =,
故④不正確;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C,給出如下的定義:若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A、B,使得∠APB=60°,則稱P為⊙C的可視點(diǎn).
(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),
①在點(diǎn)、E(1,1)、F(3,0)中,⊙O的可視點(diǎn)是______.
②過點(diǎn)M(4,0)作直線l:y=kx+b,若直線l上存在⊙O的可視點(diǎn),求b的取值范圍;
(2)若T(t,0),⊙T的半徑為1,直線y=上存在⊙T的可視點(diǎn),且所有可視點(diǎn)構(gòu)成的線段長(zhǎng)度為n,若,直接寫出t 的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的材料:
小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題,如圖1,AB=AE,∠ABC=∠EAD,AD=mAC,點(diǎn)P在線段BC上,∠ADE=∠ADP+∠ACB,求的值.
小明研究發(fā)現(xiàn),作∠BAM=∠AED,交BC于點(diǎn)M,通過構(gòu)造全等三角形,將線段BC轉(zhuǎn)化為用含AD的式子表示出來,從而求得的值(如圖2).
(1)小明構(gòu)造的全等三角形是:_________≌________;
(2)請(qǐng)你將小明的研究過程補(bǔ)充完整,并求出的值.
(3)參考小明思考問題的方法,解決問題:
如圖3,若將原題中“AB=AE”改為“AB=kAE”,“點(diǎn)P在線段BC上”改為“點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上”,其它條件不變,若∠ACB=2α,求:的值(結(jié)果請(qǐng)用含α,k,m的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,以等邊△ABC的邊BC為直徑作⊙O,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作DF⊥AC交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8,求由、DF、EF圍成的陰影部分面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,男生樓在女生樓的左側(cè),兩樓高度均為90m,樓間距為AB,冬至日正午,太陽(yáng)光線與水平面所成的角為,女生樓在男生樓墻面上的影高為CA;春分日正午,太陽(yáng)光線與水平面所成的角為,女生樓在男生樓墻面上的影高為DA,已知.
求樓間距AB;
若男生樓共30層,層高均為3m,請(qǐng)通過計(jì)算說明多少層以下會(huì)受到擋光的影響?參考數(shù)據(jù):,,,,,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片 ABCD 中,AD=5cm,AB=4cm,將矩形紙片 ABCD 沿直線l 折疊,使點(diǎn) A 落在邊 BC 上的 A'處,當(dāng)直線 l 恰好過點(diǎn) D 時(shí),用直尺和圓規(guī)在圖中作出直線 l,(保留作圖 痕跡,不寫作法),設(shè)點(diǎn) A'與點(diǎn) B 的距離為 x cm.并求出 x 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】白天,小明和小亮在陽(yáng)光下散步,小亮對(duì)小明說:“咱倆的身高都是已知的.如果量出此時(shí)我的影長(zhǎng),那么我就能求出你此時(shí)的影長(zhǎng).”晚上,他們二人有在路燈下散步,小明想起白天的事,就對(duì)小亮說“如果量出此時(shí)我的影長(zhǎng),那么我就能求出你此時(shí)的影長(zhǎng)”.你認(rèn)為小明、小亮的說法有道理嗎?說說你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑為2,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∠ABC=∠AOC,且AD=CD,則圖中陰影部分的面積等于______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖證明了勾股定理,這是著名的趙爽弦圖(如圖1).它是由四個(gè)全等的直角三角形拼成了內(nèi)、外都是正方形的美麗圖案.在弦圖中(如圖2),已知點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn),對(duì)角線BD分別交AH,CF于點(diǎn)P、Q.在正方形EFGH的EH、FG兩邊上分別取點(diǎn)M,N,且MN經(jīng)過點(diǎn)O,若MH=3ME,BD=2MN=4 .則△APD的面積為_____.
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