Question

【題目】如圖，在矩形中，，連結(jié)，點(diǎn)在射線上，以為邊在上方作，作，連結(jié)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，證明：；

（2）若時(shí)，求的面積；

（3）的外接圓交射線于點(diǎn)，作直線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，若，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或；（3）或．

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)證明結(jié)論即可；

（2）分2種情況①當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)．先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再作于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出△PCM∽△ACB，進(jìn)而推出，可設(shè)，，，在中，由，得出PM的值，進(jìn)而求得的面積；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，作于點(diǎn)，可得△PCM∽△ACB，同理可得的面積；

（3）分2種情況，①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，易得ΔEDM∽ΔGCF，設(shè)設(shè)，求出PB的長(zhǎng)，再由△ABP∽△HFP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出，求出FH的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)在線段上，同理可得．

（1）證明：∵在矩形中，，，

∴，

又∵，

∴△AEP∽△ADC，

∴

（2）①當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)．

∵，

∴，

∴

中，

作于點(diǎn)，

可得△PCM∽△ACB，

∴，

∴可設(shè)，則，，

∴中，，

，

∴

的面積

②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，作于點(diǎn)，可得△PCM∽△ACB，

∴，

∴可設(shè)，則，，

∴中，，

，

∴

的面積

（3）∵，

又∵，，

∴，

∴，．

①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

則，易得ΔEDM∽ΔGCF，

設(shè)，則有，，

∴，

，

，

又∵，

∴△ABP∽△HFP，

∴，

即，

∴

②當(dāng)點(diǎn)在線段上，同理可得