Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使△ANM的周長最小．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)和△ANM周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）當(dāng)x＝﹣時(shí)，△APC的面積取最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）；（3）在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為3．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）過點(diǎn)P作PE∥y軸交x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CQ∥y軸交x軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，﹣x+1），進(jìn)而可得出PF的值，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出AQ的值，利用三角形的面積公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用配方法可找出拋物線的對(duì)稱軸，由點(diǎn)C，N的坐標(biāo)可得出點(diǎn)C，N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，令直線AC與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，則此時(shí)△ANM周長取最小值，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，以及利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合三角形的周長公式求出△ANM周長的最小值即可得出結(jié)論．

（1）將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2﹣2x+3；

設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝mx+n（m≠0），

將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+1．

（2）過點(diǎn)P作PE∥y軸交x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CQ∥y軸交x軸于點(diǎn)Q，如圖1所示．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，﹣x+1），

∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，3），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，0），

∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，

∴S△APC＝AQPF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ．

∵﹣＜0，

∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，△APC的面積取最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣， ）．

（3）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，3）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，3），

∴點(diǎn)C，N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．

令直線AC與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，如圖2所示．

∵點(diǎn)C，N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴MN＝CM，

∴AM+MN＝AM+MC＝AC，

∴此時(shí)△ANM周長取最小值．

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣x+1＝2，

∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，2）．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，3），

∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝，

∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．

∴在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為3+．