Question

如圖，△AOB是等腰直角三角形，直線BD∥OA，OB=OA=1，P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作MN∥OB，分別交OA、BD于M、N，PC⊥PO，交BD于點(diǎn)C．
（1）求證：OP=PC；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在射線BN上時(shí)，設(shè)AP長(zhǎng)為m，四邊形POBC的面積為S，請(qǐng)求出S與m間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線BN上移動(dòng)，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形時(shí)的PM的值；如果不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,分類討論

分析：（1）首先利用矩形的判定得出四邊形OBNM為矩形，即可得出∠CPN=∠POM，進(jìn)而得出△OPM≌△PCN，求出即可；
（2）利用S=S_△OPB+S_△PBC進(jìn)而得出S與m的函數(shù)關(guān)系；
（3）利用①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PC=BC=1，②如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在OB下方，且PB=CB時(shí)，分別求出即可．

解答：（1）證明：如圖①，△AOB是等腰直角三角形，AO=BO=1，
∴∠A=45°，∠AOB=90°，
直線BN∥OA，MN∥OB，
∴四邊形OBNM為矩形，
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°
而∠AMP=90°，∠A=∠APM=∠BPN=45°，
∴OM=BN=PN，
∵∠OPC=90°，
∴∠OPM+∠CPN=90°，
又∵∠OPM+∠POM=90°，
∴∠CPN=∠POM，
在△OPM和△PCN中

∠PMO=∠CNP MO=PN ∠POM=∠NPC

，
∴△OPM≌△PCN（ASA），
∴OP=PC，

（2）解：∵AM=PM=APsin45°=

2

2

m，
∴NC=PM=

2

2

m，∴BN=OM=PN=1-

2

2

m； 
∴BC=BN-NC=1-

2

2

m-

2

2

m=1-

2

m，
S=S_△OPB+S_△PBC=

1

2

BO•MO+

1

2

BC•PN，
=

1

2

m²-

2

m+1（0≤m≤

2

2

）；

（3）解：△PBC可能為等腰三角形，
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PC=BC=1，此時(shí)PM=0，
②如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在OB下方，且PB=CB時(shí)，
有OM=BN=PN=1-

2

2

m，
∴BC=PB=

2

PN=

2

-m，
∴NC=BN+BC=1-

2

2

m+

2

-m，
由（2）知：NC=PM=

2

2

m，
∴1-

2

2

m+

2

-m=

2

2

m，
∴m=1．
∴PM=

2

2

m=

2

2

；
∴使△PBC為等腰三角形時(shí)的PM的值為0或

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四邊形綜合以及矩形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．