Question

【題目】在平行四邊形 ABCD 中，過點 D 作 DE⊥AB 于點 E，點 F 在 CD 上，CF =AE，連接 BF，AF．

（1）求證：四邊形 BFDE 是矩形；

（2）若 AF 平分∠BAD，交DE與H點，且 AB=3AE，BF=6，求AH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析; （2）4.

【解析】

（1）由CF =AE易得BE=DF．根據(jù)有一個角是90度的平行四邊形是矩形即可判定．

（2）由AF 平分∠BAD，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)可知AD=DF，而AB=3AE，即可知AD=DF=2AE，推出∠ADE=30°，由此可以解題.

（1）證明：∵ 在□ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

∵CF=AE，

∴AB－AE＝CD－CF，

即 BE＝DF，

∵BE∥DF，

∴ 四邊形DEBF是□DEBF，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90，

∴四邊形 BFDE 是矩形.

（2）解：∵AF 平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AD=DF，

∵AB=3AE

∴BD=2AE

∵BD=DF，AD=DF

∴AD=2AE，又∠AED=90

∴∠4=30，∠DAE=60

在矩形DEBF中DE=BF=6

∴AE =2

在 RtΔAEH 中，∵∠AEH=90，∠1=∠DAE=30

∴AH= = 4