Question

已知：如圖，AB⊥BC，AB=BC=4，DC⊥BC，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），連結(jié)AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交DC于點(diǎn)F．設(shè)BE的長(zhǎng)為x，CF的長(zhǎng)為y．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)垂直的定義得到∠ABC=∠AEF=∠DCB=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠A=∠CEF，根據(jù)三角形相似的判定得到Rt△ABE∽R(shí)t△ECF，利用相似比即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：BE的長(zhǎng)為x，則CE=BC-BE=4-x，CF的長(zhǎng)為y，
∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，
∴∠ABC=∠AEF=∠DCB=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEF=90°，
∴∠A=∠CEF，
∴Rt△ABE∽R(shí)t△ECF，
∴

AB

CE

=

BE

CF

，即

4

4-x

=

x

y

，
∴y=-

1

4

x²+x（0＜x＜4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，都等于相似比．