Question

如圖，A、B、C是⊙O上三點，且C是

AB

的中點，連接OA、OB．
（1）如圖1，若∠AOB=120°，求證：四邊形OACB是菱形，并求

AB

OC

的值．
（2）如圖2，弦CD⊥OA于點E，若sin∠CDB=

1

3

，求tan∠DBC的值．

Answer 1

考點：菱形的判定,垂徑定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,解直角三角形

專題：

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出AC=OA=OB=BC，再利用菱形的判定得出即可，由

AM

AO

=

3

2

，得出

AB

OC

的值．
（2）首先構(gòu)造直角三角形，求出FB以及FO的長，再利用垂徑定理以及圓周角定理得出∠CBD=∠AOC=∠COB，進而得出答案．

解答：（1）證明：∵C是弧BC的中點，∠AOB=l20°
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等邊三角形，
∴AC=OA=OB=BC，
∴四邊形OACB是菱形．
∵∠AOC=60°，
∴

AM

AO

=

3

2

，
∴AM=

3

2

AO，
∴AB=

3

AO，
∵CO=AO，
∴

AB

OC

=

3

；

（2）解：連接CO并延長交⊙O于點M，連接BM，過點B作BF⊥CM于點F，
∵∠CDB=∠CMB，sin∠CDB=

1

3

，
∴sin∠CMB=

BC

CM

=

1

3

，
設(shè)BC=x，則MC=3x，
故BM=2

2

x，
∴BF•MC=BC•BM，
∴BF=

x•2 2 x

3x

=

2 2

3

x，
∴FO=

BO2-BF2

=

7

6

x，
∴tan∠FOB=

BF

FO

=

2 2 3 x

7 6 x

=

4 2

7

，
∵C是

AB

的中點，
∴∠AOC=∠COB，
∵弦CD⊥OA于點E，
∴

AC

=

AD

，
∴∠CBD=∠AOC=∠COB，
∴tan∠DBC=

4 2

7

．

點評：此題主要考查了菱形的判定以及圓周角定理以及其推論和勾股定理的等知識，用同一未知數(shù)表示出BF，F(xiàn)O的長是解題關(guān)鍵．