Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象交于點A（m，1）和B（-m，-1）（m≠0）．
（1）當(dāng)m=2時，分別求反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；
（2）若二次函數(shù)的頂點在反比例函數(shù)上，求出此時的m值；
（3）當(dāng)x＞

2

4

時，這兩個函數(shù)的增減性一致，請寫出滿足條件的最小整數(shù)m．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,反比例函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

，由于m=2時，A點坐標(biāo)為（2，1）和B點坐標(biāo)為（-2，-1），則k=2，得到反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；然后利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式為y=-x²+

1

2

x+4；
（2）由于反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象交于點A（m，1）和B（-m，-1），則

-m2+bm+c=1 -m2-bm+c=-1

，解得

b= 1 m c=m2

，則二次函數(shù)的解析式為表示為y=-x²+

1

m

x+m²，可得到二次函數(shù)的頂點為(

1

2m

，m2+

1

4m2

)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到

1

2m

(m2+

1

4m2

)=m，解得m=±

2

2

；
（3）由于二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象的開口方向向下，則當(dāng)x＞

1

2m

時，y隨x的增大而減小，而當(dāng)x＞

2

4

時，這兩個函數(shù)的增減性一致，所以反比例函數(shù)圖象分布在第一、三象限，拋物線頂點在第一象限，即0＜

1

2m

≤

2

4

，解得m≥

2

，于是得到m的最小整數(shù)為2．

解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

，
當(dāng)m=2時，則A點坐標(biāo)為（2，1）和B點坐標(biāo)為（-2，-1），
∴k=2×1=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；
把A（2，1）和B（-2，-1）代入y=-x²+bx+c得

-4+2b+c=1 -4-2b+c=-1

，
解得

b= 1 2 c=4

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+

1

2

x+4；
（2）∵反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象交于點A（m，1）和B（-m，-1）
∴

-m2+bm+c=1 -m2-bm+c=-1

∴

b= 1 m c=m2

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+

1

m

x+m²，
∴二次函數(shù)的頂點為(

1

2m

，m2+

1

4m2

)
又∵二次函數(shù)的頂點在反比例函數(shù)上，
∴

1

2m

(m2+

1

4m2

)=m，
∴m=±

2

2

；
（3）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象的開口方向向下，
∴當(dāng)x＞

1

2m

時，y隨x的增大而減小，
又∵當(dāng)x＞

2

4

時，這兩個函數(shù)的增減性一致，
∴反比例函數(shù)圖象分布在第一、三象限，拋物線頂點在第一象限，
即0＜

1

2m

≤

2

4

，
∴m≥

2

∴m的最小整數(shù)為2．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)．