Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B（A點在B點的左側(cè)）與y軸交于點C．
（1）如圖1，連接AC、BC，若△ABC的面積為3時，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P為第四象限拋物線上一點且在直線BC下方，連接PC，若∠BCP=2∠ABC時，求點P的橫坐標；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在AP上，過點P作PH⊥x軸于H點，點K在PH的延長線上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4 a，連接KB并延長交拋物線于點Q，求PQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：當y=0時，ax2﹣5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，則A（1，0），B（4，0），

∴AB=3，

∵△ABC的面積為3，

∴ 3OC=3，解得OC=2，則C（0，﹣2），

把C（0，﹣2）代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2；

（2）解：過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，如圖2，設P（x，ax2﹣5ax+4a），則PD=4a﹣（ax2﹣5ax+4a）=﹣ax2+5ax，

∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠BCD，

∵∠BCP=2∠ABC，

∴∠PCD=∠ABC，

∴Rt△PCD∽Rt△CBO，

∴PD：OC=CD：OB，

即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，

∴點P的橫坐標為6；

（3）解：過點F作FG⊥PK于點G，如圖3，

∵AK=FK，

∴∠KAF=∠KFA，

而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，

∵∠KAH=∠FKP，

∴∠HAP=∠KPA，

∴HA=HP，

∴△AHP為等腰直角三角形，

∵P（6，10a），

∴﹣10a=6﹣1，解得a=﹣ ，

在Rt△PFG中，∵PF=﹣4 a=2 ，∠FPG=45°，

∴FG=PG= PF=2，

在△AKH和△KFG中

，

∴△AKH≌△KFG，

∴KH=FG=2，

∴K（6，2），

設直線KB的解析式為y=mx+n，

把K（6，2），B（4，0）代入得 ，

解得 ，

∴直線KB的解析式為y=x﹣4，

當a=﹣ 時，拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2，

解方程組 ，

解得 或 ，

∴Q（﹣1，﹣5），

而P（6，﹣5），

∴PQ∥x 軸，

∴QP=7．

【解析】（1）觀察函數(shù)解析式的特點，求出此函數(shù)圖像與x軸的交點A、B的坐標，注意：A點在B點的左側(cè)，用待定系數(shù)法就可以求出此函數(shù)解析式。
（2）根據(jù)已知添加輔助線，過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，易證得Rt△PCD∽Rt△CBO，得出對應邊成比例，抓住點P在第四象限，設點P的坐標，建立方程，求解即可求出點P的坐標。
（3）過點F作FG⊥PK于點G，先證∠HAP=∠KPA得到HA=HP，根據(jù)點P的坐標即可求出a的值，就可以證得△AHP為等腰直角三角形，再證明△AKH≌△KFG，得出KH=FG，即可得到點K的坐標，再求出直線KB的解析式，兩函數(shù)圖像交于點Q，因此由兩函數(shù)解析式聯(lián)立方程，求解即可求得Q點坐標，即可求得QP的值。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．