Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A（0，4），B（-3，4），C（-6，0），動點P從點A出發(fā)以1個單位/秒的速度在y軸上向下運動，動點Q同時從點C出發(fā)以2個單位/秒的速度在x軸上向右運動，過點P作PD⊥y軸，交OB于D，連接DQ．當(dāng)點P與點O重合時，兩動點均停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．
（1）當(dāng)t=1時，求線段DP的長；
（2）連接CD，設(shè)△CDQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求出S的最大值；
（3）運動過程中是否存在某一時刻，使△ODQ與△ABC相似？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）得出OA=4，AB=3，CO=6，再根據(jù)當(dāng)t=1時，AP=1，則OP=3，再證出

DP

AB

=

OP

OA

，最后代入計算即可，
（2）先作DE⊥CO于點E，根據(jù)DE=OP=4-t得出S=

1

2

×CQ×DE=-t²+4t，從而求出當(dāng)t=2時，S有最大值，
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)0≤t＜3時，點Q在CO上運動，根據(jù)AB∥CO得出∠BOC=∠ABO＜∠ABC，證得BO=BC從而得出∠BOC=∠BCO＞∠BCA，根據(jù)AB∥CO得出∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC從而證出當(dāng)0≤t≤3時，△ODQ與△ABC不可能相似；②當(dāng)3＜t≤4時，點Q在x軸正半軸上運動，延長AB，根據(jù)AB∥CO得出∠ABC=∠DOQ，OQ=2t-6，再由DP∥AB可得OD=

20-5t

4

，最后根據(jù)

OD

BC

=

OQ

BA

和

OD

BA

=

OQ

BC

時，分別進行計算，求出t的值，即可得出答案．

解答：解：（1）如圖1，由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，
當(dāng)t=1時，AP=1，則OP=3，
∵PD⊥y軸，AB⊥y軸，
∴PD∥AB，
∴

DP

AB

=

OP

OA

，
∴

DP

3

=

3

4

，
∴DP=

9

4

；
          
（2）如圖2，∵運動的時間為t秒，動點Q同時從點C出發(fā)以2個單位/秒的速度在x軸上向右運動，
∴CQ=2t，
∴AP=t，OP=4-t，
作DE⊥CO于點E，則DE=OP=4-t，
∴S=

1

2

×CQ×DE=

1

2

×2t×（4-t）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
當(dāng)t=2時，S最大值=4；
           
（3）如圖3，分兩種情況討論：
①當(dāng)0≤t＜3時，點Q在CO上運動（當(dāng)t=3時，△ODQ不存在），
∵AB∥CO，
∴∠BOC=∠ABO＜∠ABC，
可證得BO=BC，
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA，
∵AB∥CO，
∴∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC，
∴當(dāng)0≤t≤3時，△ODQ與△ABC不可能相似；
②當(dāng)3＜t≤4時，點Q在x軸正半軸上運動，
延長AB，
∵AB∥CO，
∴∠FBC=∠BCO=∠BOC，
∴∠ABC=∠DOQ   OQ=2t-6，
由DP∥AB可得OD=

20-5t

4

，
當(dāng)

OD

BC

=

OQ

BA

時，

20-5t 4

5

=

2t-6

3

，t=

36

11

；  
當(dāng)

OD

BA

=

OQ

BC

時，

20-5t 4

3

=

2t-6

5

，t=

172

49

；   
∴存在t=

36

11

和t=

172

49

，使△ODQ與△ABC相似．

點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分兩種情況討論．