Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)B(0，3)，△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A′BO′，點(diǎn)A、O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′、O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

(1)如圖1，若α=90°，求AA′的長(zhǎng)；

(2)在(1)的條件下，邊OA上的一點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，當(dāng)O′M+BN取得最小值時(shí)，在圖中畫出求點(diǎn)M的位置，并求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。

(3)如圖2，在△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，以AB、A′B為鄰邊畫菱形AB A′E，F是AB的中點(diǎn)，連A′F交BE于P，BP的垂直平分線交AB于K，當(dāng)α從60°到90°的變化過(guò)程中，點(diǎn)K的位置是否變化？若不變，求BK的長(zhǎng)并直接寫出此變化過(guò)程中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）AA'＝；（2）作圖見解析，N(﹣3， )；（3）不發(fā)生變化，

【解析】

（1）先求出AB的長(zhǎng)度，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，然后得到的長(zhǎng)度；

（2）根據(jù)題意，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，先確定出點(diǎn)M的位置，然后求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到△FBP∽△A′EP，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例，求出BK的長(zhǎng)度；根據(jù)弧長(zhǎng)公式，即可求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

解：（1）∵A(﹣4，0)，點(diǎn)B(0，3)，

∴OA＝4，OB＝3

由勾股定理得：AB＝，

∵旋轉(zhuǎn)角＝90°，

由旋轉(zhuǎn)知A'B＝AB＝5，

∴△A'BA是等腰直角三角形，

∴AA'＝；

（2）由旋轉(zhuǎn)知BN＝BM，

∴O′M+BN的最小值＝O′M+BM的最小值，

∴作出點(diǎn)B(0，3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'(0，﹣3)，連接O'B'交OA于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求；

設(shè)O′B'：y＝kx+b把O′(﹣3，3)B'(0，﹣3)代入得

，

解得：k＝﹣2，b＝﹣3，

∴O′B'為y＝﹣2x﹣3；

令'y＝0得：x＝﹣，

∴M(﹣，0)，MO ＝，

∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△BOM≌△BO′N，

∴OM ＝O′N＝，

∴N的縱坐標(biāo)為：3+＝，

∴N(﹣3， )；

（3）不發(fā)生變化；理由如下：

∵F是BC的中點(diǎn)，

∴BF＝AF＝AB，

∵四邊形AB A′E是菱形，

∴AB＝A′E，AB∥A′E，

∴△FBP∽△A′EP，

∴，

∵四邊形AB A′E是菱形，

∴∠ABE＝∠A′ BE，

又∵BP的中垂線與邊AB交于點(diǎn)K，

∴KP＝KB，

∴∠ABE＝∠KPB，

∴∠KPB＝∠A′ BE，

∴PK∥AE∥A′ B，

∴，

∴BK＝AB＝，

即點(diǎn)K的位置不發(fā)生改變；

∴P點(diǎn)經(jīng)過(guò)路線是以K為圓心，BK為半徑的圓弧，

長(zhǎng)度為：．