Question

如圖，已知：在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的中線，AB=13，BC=10，
（1）求△ABC的面積；
（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

考點：勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）作等腰三角形底邊上的高AH并根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）方法一：作等腰三角形底邊上的高AH并根據(jù)勾股定理求出，與BD交點為E，則E是三角形的重心，再根據(jù)三角形重心的性質(zhì)求出EH，∠DBC的正切值即可求出．
方法二：作出底邊上的高，在過D作DF⊥BC，先根據(jù)勾股定理求出AH的長，再根據(jù)三角形中位線定理求出DF的長，BF的長就等于BC的

3

4

，∠DBC的正切值即可求出．

解答：解：（1）過點A作AH⊥BC，垂足為點H，交BD于點E．
∵AB=AC=13，BC=10
∴BH=5（1分）
在Rt△ABH中，AH=12，
∴△ABC的面積=10×12÷2=60；

（2）方法一：過點A作AH⊥BC，垂足為點H，交BD于點E．
∵AB=AC=13，BC=10
∴BH=5（1分）
在Rt△ABH中，AH=12
∵BD是AC邊上的中線
所以點E是△ABC的重心
∴EH=

1

3

=4，
∴在Rt△EBH中，tan∠DBC=

HE

HB

=

4

5

．

方法二：過點A、D分別作AH⊥BC、DF⊥BC，垂足分別為點H、F．
∵BC=10，AH⊥BC，AB=AC，
∴BH=5（1分）
∵AB=13，
∴AH=

132-52

=12，
在Rt△ABH中，AH=12
∵AH∥DF
∴DF=

1

2

AH=6
BF=

3

4

BC=

15

2

∴在Rt△DBF中，tan∠DBC=

DF

BF

=

4

5

．

點評：本題利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾股定理，第一種方法還運(yùn)用三角形的重心把中線分成2：1的兩段，第二種方法還運(yùn)用三角形中位線定理都需要熟練掌握．