Question

【題目】已知拋物線y＝x2．

（1）在拋物線上有一點(diǎn)A(1，1)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出直線l的解析式；

（2）如圖1，拋物線有兩點(diǎn)F、G，連接FG交y軸于M，過(guò)G作x軸的垂線，垂足為H，連接HM、OF，求證：OF∥MH；

（3）將拋物線y＝x2沿直線y＝x移動(dòng)，新拋物線的頂點(diǎn)C，與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為D，作直線x＝4與直線CD、BD交于點(diǎn)N、E，如圖2，求EN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x﹣1；（2）證明見(jiàn)解析；（3）EN＝3．

【解析】

（1）設(shè)直線方程為y＝kx+b，將點(diǎn)A代入找到k,b的關(guān)系，聯(lián)立拋物線與直線l的表達(dá)式并整理得：x2﹣kx+k﹣1＝0，△＝k2﹣4k+4＝0，即可求解；

（2）設(shè)F（a，a2），G（b，b2），所以直線FG的解析式為y＝（a+b）x﹣ab，M（0，﹣ab），H（b，0），所以直線MH的解析式為＝ax﹣ab，直線OF的解析式為y＝ax，

所以OF∥MH；

（3）設(shè)新拋物線的解析式為y＝（x﹣4m）2+3m，聯(lián)立y＝（x﹣4m）2+3m，y＝x，得＝4m，＝4m+，D（0，16m2+3m），所以直線BD的解析式為y＝（﹣4m）x+16m2+3m，直線CD的解析式為y＝﹣4mx+16m2+3m．當(dāng)x＝4時(shí)，＝﹣13m+16m2+3，＝﹣13m﹣16m2，即可求解．

解：（1）設(shè)直線l的表達(dá)式為：y＝kx+b，

將點(diǎn)A（1，1）的坐標(biāo)代入上式得

解得

∴直線l的表達(dá)式為：y＝kx+1﹣k，

整理得：x2﹣kx+k﹣1＝0，

＝k2﹣4k+4＝0，解得：k＝2，

故直線l的表達(dá)式為：y＝2x﹣1；

（2）設(shè)F（a，a2），G（b，b2），

設(shè)直線FG的解析式為

將點(diǎn)F,G代入解析式中得

解得

∴直線FG的解析式為y＝（a+b）x﹣ab，

∴M（0，﹣ab），H（b，0）．

設(shè)直線MH的解析式為

將點(diǎn)M,H代入解析式中得

解得

∴直線MH的解析式為＝ax﹣ab，

設(shè)直線OF的解析式為

將點(diǎn)F代入解析式中得

解得

∴直線OF的解析式為y＝ax，

所以OF∥MH；

（3）設(shè)新拋物線的解析式為y＝（x﹣4m）2+3m，與直線 聯(lián)立得

解得＝4m，＝4m+，

∴，

∴

當(dāng) 時(shí)，

∴D（0，16m2+3m），

設(shè)直線BD的解析式為

將點(diǎn)B,D代入解析式中得

解得

所以直線BD的解析式為y＝（﹣4m）x+16m2+3m，

設(shè)直線CD的解析式為

將點(diǎn)C,D代入解析式中得

解得

直線CD的解析式為y＝﹣4mx+16m2+3m．

當(dāng)x＝4時(shí)，＝﹣13m+16m2+3，＝﹣13m﹣16m2，

所以EN＝3．