Question

圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，一只螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)B出發(fā)沿圓錐側(cè)面爬到過(guò)母線AB的軸截面上另一母線AC的中點(diǎn)D．問(wèn)螞蟻沿怎樣的路線爬行，使路程最短？最短的路程是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題,圓錐的計(jì)算

專題：

分析：將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得出螞蟻爬行的最短路線及最短的路程．

解答：解：由題意知，圓錐底面圓的直徑為2，故底面周長(zhǎng)等于2π．
如圖，將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，得到扇形BCB′，則螞蟻沿線段BD爬行，路程最短．
設(shè)扇形BCB′的圓心角為n°，
根據(jù)圓錐底面周長(zhǎng)等于它展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)得，2π=

n×π×3

180

，
解得：n=120，
則展開(kāi)圖中扇形的圓心角為120°，即∠BCB′=120°，則∠1=60°．
過(guò)D作DF⊥BC于F．
∵D為AC中點(diǎn)，AC=3，
∴DC=

3

2

．
∵∠1=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=

3

4

，
∴DF²=CD²-CF²=

27

16

，
∵BC=3，CF=

3

4

，
∴BF=

9

4

．
在Rt△BFD中，利用勾股定理得：
BD²=BF²+FD²=

81

16

+

27

16

=

27

4

，
則BD=

3 3

2

．
故螞蟻沿線段BD爬行，路程最短，最短的路程是

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，用到的知識(shí)點(diǎn)：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開(kāi)成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．