Question

如圖長方體的長、寬、高分別是4、3、12，一只螞蟻欲從長方體底面A 點沿長方體表面到C₁處吃食物，求它爬行的最短路徑．現有三種路徑可選擇：路徑1：將面ABB₁A₁與面A₁B₁C₁D₁置于同一平面，則點A、B、C₁確定了Rt△ABC₁，則其斜邊AC₁為路徑1（用L₁表示）；路徑2：將面ADD₁A₁與面A₁B₁C₁D₁置于同一平面，則點A、D、C₁確定了Rt△ADC₁，則其斜邊AC₁為路徑2（用L₂表示）；路徑3：將面ADD₁A₁與面DCC₁D₁置于同一平面，則點A、C、C₁確定了Rt△ACC₁，則其斜邊AC₁為路徑3（用L₃表示）；
（1）求L₁²=

 

，L₂²=

 

，L₃²=

 

，此時螞蟻應選擇路徑較短．
（2）若其它條件不變，把長方體的高變?yōu)?，則L₁²=

 

，L₂²=

 

，L₃²=

 

，此時螞蟻應選擇路徑較短．

Answer 1

考點：平面展開-最短路徑問題

專題：幾何圖形問題,分類討論

分析：做此題要把這個長方體中，螞蟻所走的路線放到一個平面內，在平面內線段最短，根據勾股定理即可計算．

解答：解：（1）如圖1所示：L₁²=3²+16²=265，
如圖2所示：L₂²=4²+15²=241，
如圖3所示：L₃²=12²+7²=191；
故此時螞蟻應選擇路徑3較短．
故答案為：265，241，191；

（2）利用（1）所求方法即可得出：
L₁²=3²+6²=45，
L₂²=4²+5²=41，
L₃²=2²+7²=53；
故此時螞蟻應選擇路徑2較短．
故答案為：45，41，53；

點評：本題考查了平面展開-最短路徑問題，“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．