Question

【題目】如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，同時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，那么我們稱拋物線與關(guān)聯(lián).

（1）已知拋物線：與：，請判斷拋物線 與拋物線是否關(guān)聯(lián)，并說明理由.

（2）拋物線，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線，若拋物線與關(guān)聯(lián)，求拋物線的解析式.

（3）點(diǎn)為拋物線：的頂點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點(diǎn)，是否存在以為斜邊的等腰直角三角形ABC，使其直角頂點(diǎn)在直線上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）M在C上，M在C上；（2），；（3）

【解析】

（1）C：頂點(diǎn)坐標(biāo)M（1，5），當(dāng)x=1時(shí)，y=2x2+4x-1=5，故拋物線C1頂點(diǎn)在C2的拋物線上，即可求解；

（2）求出C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9+2t，-2），將該頂點(diǎn)坐標(biāo)代入C1的函數(shù)表達(dá)式得：-2=-（9+2t+9）2+6，即可求解；

（3）設(shè)點(diǎn)C（-10，n），點(diǎn)B（-1，-2）或（-17，-2），點(diǎn)A（-9，6），以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，則AC2=BC2且AC2+BC2=AB2，即可求解．

（1）C：頂點(diǎn)坐標(biāo)M（1，5），

當(dāng)x=1時(shí)，y=2x2+4x-1=5，故拋物線C1頂點(diǎn)在C2的拋物線上；

C：頂點(diǎn)坐標(biāo)M（-1，-3），

同理可得：拋物線C2頂點(diǎn)在C1的拋物線上，

故：拋物線C1與拋物線C2相互關(guān)聯(lián)；

（2）C1拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-9，6），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），

由中點(diǎn)公式得：C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9+2t，-2），

將該頂點(diǎn)坐標(biāo)代入C1的函數(shù)表達(dá)式得：-2=-（9+2t+9）2+6，

解得：t=-5或-13，

故C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）或（-17，-2），

故函數(shù)C2的表達(dá)式為：y＝ (x+1)22或y＝ (x+17)22；

（3）存在，理由：

設(shè)點(diǎn)C（-10，n），點(diǎn)A（-9，6），

當(dāng)點(diǎn)B在函數(shù)對稱軸的右側(cè)時(shí)，如圖，∠ACB=90°，CA=CB，

作直線l：x=-10，過點(diǎn)A作直線l的垂線交于點(diǎn)G，

過點(diǎn)C作x軸的平行線、過點(diǎn)B作x軸的垂線，兩條直線交于點(diǎn)H，

∵∠GCA+∠AGH=90°，∠AGH+∠BCH=90°，

∴∠BCH=∠ACG，

∠CGA=∠CHB=90°，CA=CB，

∴△CGA≌△CHB（AAS），

∴BH=AG，CG=CH，

則點(diǎn)B（-4-n，n-1），

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線C1：y＝ (x+9)+6并解得：n=1±4；

綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-10，1+4）或（-10，1-4）．

當(dāng)點(diǎn)B在函數(shù)對稱軸的左側(cè)時(shí)，

同理可得點(diǎn)B（n-16，n+1），

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式并解得：n=3，

綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-10，1+4）或（-10，1-4）或（-10，3）．