Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）拋物線的解析式__；（2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止．若使點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少，則點(diǎn)E的坐標(biāo)__．

Answer 1

【答案】y＝x2﹣x+3； （2，1）．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得AE與NE的關(guān)系，根據(jù)路程與速度，可得點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為DE＋EN，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE＋EN最小，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)，可得ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)可得OD的長，再求ON的長，可得答案．

解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入，

得，解得．

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x+3，

故答案為y＝x2﹣x+3；

（2）∵A（0，3），C（3，0），

∴OA＝OC＝3，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠OAC＝45°，

過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖，

在Rt△ANE中，EN＝AEsin45°＝AE，即AE＝EN，

∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為＝DE+EN，

作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E，

則有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，

∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN＝D′E+EN最小，

此時(shí)，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，

∴四邊形OCD′N是矩形，

∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．

對(duì)于y＝x2﹣x+3，當(dāng)y＝0時(shí)，有x2﹣x+3＝0，

解得：x1＝2，x2＝3．

∴D（2，0），OD＝2，

∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），

故答案為（2，1）．