Question

如圖，在△ABC中，D為BC的中點，點E、F分別在邊AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于點O．過點O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q為垂足．求證：DP=DQ．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：取OB中點M，OC中點N，根據(jù)三角形中位線定理可得到DM∥OC，DM=

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OC，DN∥OB，DN=

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OB，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到QM=

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2

OB，PN=

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OC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可推出∠QMD=∠PND，從而利用SAS判定△QMD≌△DNP，根據(jù)全等三角形的對應的邊相等即可證得結(jié)論．

解答：證明：如圖，取OB中點M，OC中點N，連接MD，MQ，DN，PN．
∵D為BC的中點
∴DM∥OC，DM=

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OC，DN∥OB，DN=

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OB．
∵在Rt△BOQ和Rt△OCP中，QM=

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OB，PN=

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OC．
∴DM=PN，QM=DN．∠QMD=∠QMO+∠OMD=2∠ABO+∠FOB，
∠PND=∠PNO+∠OND=2∠ACO+∠EOC．
∵∠ABO=∠ACO，∠FOB=∠EOC，
∴∠QMD=∠PND．
∴△QMD≌△DNP，
∴DQ=DP．

點評：此題主要考查學生對三角形中位線定理及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用能力．