Question

如圖1，在等邊△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD翻折至△AED，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，∠AEF=∠AED．

（1）求證：AE=BF+EF；
（2）如圖2，M為AE上一點(diǎn)，連接MD、MF，MD=MF，若CD=4，CF=1，求線段AM的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）連接AF，根據(jù)三角形中已知兩邊和夾角求第三邊即可求得EF=FC，即可解題；
（2）根據(jù)余弦定理可以求得DE，EM的大小關(guān)系，根據(jù)DE，EM的大小關(guān)系，可以求得AM的長，即可解題．

解答：（1）證明：連接AF，
∵AF²=AC²+CF²-2AC•CF•cosC，
AF²=AE²+EF²-2AE•EF•cos∠AEF，
AE=AB=AC，∠AEF=∠AED=∠C=60°
∴EF=CF，
∴AE=AB=BC=BF+FC=BF+EF．
（2）解：∵DM²=DE²+EM²-2DE•EM•cos60°，
FM²=EF²+EM²-2EF•EM•cos60°，
設(shè)DE=x，EM=y，則x²+y²-xy=1+y²-y，
x²-1-（x-1）y=0，
（x-1）（x+1-y）=0，
∴x=1（舍去），y=x+1，
AM=AE-EM=BC-y=BD+4-y=x+4-（x+1）=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中余弦定理的使用，考查了折疊問題的求證，本題中求得DE，EM的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．