Question

已知x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²-kx+k-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求y=（x₁-2x₂）（2x₁-x₂）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂、x₁x₂的值，再化簡y=（x₁-2x₂）（2x₁-x₂），整體代入，再求最小值．

解答：解：∵x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²-kx+k-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=k-1，
∴y=（x₁-2x₂）（2x₁-x₂）
=2x₁²-x₁x₂-2x₁x₂+2x₂²
=2x₁²-3x₁x₂+2x₂²
=2（x₁²+x₂²）-3x₁x₂
=2（x₁+x₂）²-7x₁x₂
=2k²-7（k-1）
=2k²-7k+7
=2（k²-

7

2

k）+7
=2（k²-

7

2

k+

49

16

-

49

16

）+7
=2（k-

7

4

^）2+

7

8

，
∴y=（x₁-2x₂）（2x₁-x₂）的最小值

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是求得兩根之和、積，配方法．