Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．有拋物線和.拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與其對(duì)稱軸交于點(diǎn)B．P是拋物線上一點(diǎn)，且在x軸上方．過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q．過(guò)點(diǎn)Q作PQ的垂線交拋物線于點(diǎn)（不與點(diǎn)Q重合），連結(jié).設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求a的值；

（2）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)△與△OAB重疊部分圖形的周長(zhǎng)為l．

①求的值；

②求l與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)h為何值時(shí)，存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)O、A、Q、為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形？直接寫出h的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；（3）h=3或或．

【解析】

試題分析：（1）把（0，0）代入即可解決問(wèn)題．

（2）①用m的代數(shù)式表示PQ、QQ′，即可解決問(wèn)題．

②分0＜m≤3或3＜m＜6兩種情形，畫出圖形，利用相似三角形或銳角三角函數(shù)求出相應(yīng)線段即可解決．

（3），①當(dāng)h=3時(shí)，兩個(gè)拋物線對(duì)稱軸x=3，四邊形OAQQ′是等腰梯形．②當(dāng)四邊形OQ′1Q1A是菱形時(shí)，求出拋物線對(duì)稱軸即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴x=0時(shí)，y=0，∴9a+4=0，∴；

（2）∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，∴h=0，∵，∴．

①將化為；設(shè)P（m，），Q（m，），∴PQ＝，QQ′＝2m，∴=；

②如圖1中，當(dāng)0＜m≤3時(shí)，設(shè)PQ與OB交于點(diǎn)E，與OA交于點(diǎn)F，∵，∠PQQ′=∠BMO=90°，∴△PQQ′∽△BMO，∴∠QPQ′=∠OBM，∵EF∥BM，∴∠OEF=∠OBM，∴∠OEF=∠QPQ′，∴OE∥PQ′，∵，∴EF=，OE=，∴l(xiāng)=OF+EF+OE==4m；

當(dāng)3＜m＜6時(shí)，如圖2中，設(shè)PQ′與AB交于點(diǎn)H，與x軸交于點(diǎn)G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．

∵AF=6﹣m，tan∠EAF=，∴EF=，AE=，∵tan∠PGF=，PF=，∴GF=，∴AG=，∴GM=AM=，∵HG=HA==，∴l(xiāng)=GH+EH+EF+FG=．

綜上所述：．

（3）如圖3中，①當(dāng)h=3時(shí)，兩個(gè)拋物線對(duì)稱軸x=3，∴點(diǎn)O、A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)Q，Q′關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴OA∥QQ′，OQ′=AQ，∴四邊形OAQQ′是等腰梯形，屬于軸對(duì)稱圖形．

②當(dāng)四邊形OQ′1Q1A是菱形時(shí)，OQ′1=OA=6，∵Q′1Q1=OA=6，∴點(diǎn)Q1的縱坐標(biāo)為4，在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，∴HQ′1=，∴h=或；

綜上所述：h=3或或時(shí)，點(diǎn)O，A，Q，Q′為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形．