(2012•廣安)如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N,點P在AB的延長線上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求證:直線CP是⊙O的切線.
(2)若BC=2
5
,sin∠BCP=
5
5
,求點B到AC的距離.
(3)在第(2)的條件下,求△ACP的周長.
分析:(1))根據(jù)∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP,在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,得到2∠BCP+2∠BCA=180°,從而得到∠BCP+∠BCA=90°,證得直線CP是⊙O的切線.
(2)作BD⊥AC于點D,得到BD∥PC,從而利用sin∠BCP=sin∠DBC=
DC
BC
=
DC
2
5
=
5
5
,求得DC=2,再根據(jù)勾股定理求得點B到AC的距離為4.
(3)先求出AC的長度,然后利用BD∥PC的比例線段關系求得CP的長度,再由勾股定理求出AP的長度,從而求得△ACP的周長.
解答:解:(1)∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP,在△ABC中,∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°,
∴∠BCP+∠BCA=90°,
∴直線CP是⊙O的切線.

(2)如右圖,作BD⊥AC于點D,
∵PC⊥AC
∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2
5
,sin∠BCP=
5
5
,
∴sin∠BCP=sin∠DBC=
DC
BC
=
DC
2
5
=
5
5

解得:DC=2,
∴由勾股定理得:BD=4,
∴點B到AC的距離為4.

(3)如右圖,連接AN,
∵AC為直徑,
∴∠ANC=90°,
∴Rt△ACN中,AC=
CN
cos∠ACN
=
CN
sin∠BCP
=
5
5
5
=5,
又CD=2,
∴AD=AC-CD=5-2=3.
∵BD∥CP,
BD
CP
=
AD
AC

∴CP=
20
3

在Rt△ACP中,AP=
AC2+CP2
=
25
3

AC+CP+AP=5+
20
3
+
25
3
=20,
∴△ACP的周長為20.
點評:本題考查了切線的判定與性質(zhì)等知識,考查的知識點比較多,難度較大.
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