Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)O，D，C三點(diǎn).

（1）求AD的長(zhǎng)及拋物線的解析式；
（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P，Q，C為頂點(diǎn)的三角形與ADE相似？
（3）點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使以M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)（不寫(xiě)求解過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCO為矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．

由題意，得△BDC≌△EDC．

∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．

由勾股定理易得EO=6．

∴AE=10﹣6=4，

設(shè)AD=x，則BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．

∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)D（3，10），C（8，0），O（0,0,）

∴ 解得 ∴拋物線的解析式為：y= x2+ x．

（2）

∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．

而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．

當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC， ∴ ，即 ， 解得t= ． 當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC， ∴ ，即 ， 解得t= ． ∴當(dāng)t= 或 時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似．

（3）

解：假設(shè)存在符合條件的M、N點(diǎn)，分兩種情況討論：①EC為平行四邊形的對(duì)角線，由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)EC中點(diǎn)，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點(diǎn)必為拋物線頂點(diǎn)； 則：M（4， ）；而平行四邊形的對(duì)角線互相平分，那么線段MN必被EC中點(diǎn)（4，3）平分，則N（4， ）； ②EC為平行四邊形的邊，則EC//MN，EC =MN，設(shè)N（4，m），則M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）； 將M（﹣4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣38，此時(shí) N（4，﹣38）、

M（﹣4，﹣32）；

將M（12，m﹣6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣26，此時(shí) N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；

綜上，存在符合條件的M、N點(diǎn)，且它們的坐標(biāo)為： ①M(fèi)1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38） ②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26） ③M3（4， ），N3（4， ）．

【解析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得EC=BC，從而可解出OE，設(shè)AD=x，則ED=8-x，由勾股定理可得AD2+AE2=ED2 ， 構(gòu)造方程解出x的值，從而可得D的坐標(biāo)，將D的坐標(biāo)，C的坐標(biāo)，O的坐標(biāo)代入拋物線可求出；（2）易求得∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．可設(shè)CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．分類(lèi)討論：當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，與當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC；分別寫(xiě)出邊的關(guān)系，可求出t；（3）分類(lèi)討論：①EC為平行四邊形的對(duì)角線，由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)EC中點(diǎn)，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點(diǎn)必為拋物線頂點(diǎn)；從而可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②EC為平行四邊形的邊，則EC//MN，EC =MN，設(shè)N（4，m），根據(jù)E到C的平移關(guān)系與M、N的平移關(guān)系相同，可得M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；將點(diǎn)M代入拋物線解析式，從而解出m的值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．