Question

【題目】如圖，在菱形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作一條直線分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，連接、．

求證：四邊形是平行四邊形；

若，垂足為，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角邊”證明△AEO和△CFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OF，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）設(shè)OM=x，根據(jù)∠MBO的正切值表示出BM，再根據(jù)△AOM和△OBM相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AM，然后根據(jù)△AEM和△BFM相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可．

解：證明：在菱形中，，，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形；

解：設(shè)，

∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．