Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-，1），△AOD和△BDC（點(diǎn)B、D、C沿順時(shí)針方向排列）都為等邊三角形．
（1）求證：△BOD≌△CAD；
（2）若△BDC的邊長(zhǎng)為7，求AC的長(zhǎng)及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)（2）中點(diǎn)B的位置為初始位置，點(diǎn)B在x軸上由初始位置以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，等邊△BCD的大小也隨之變化，在運(yùn)動(dòng)過程中△AOC是否能成為等腰三角形？如果能，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可以求出DC=DB，DA=DO，∠CDA=∠ODB，從而可以求出△BOD≌△CAD，
（2）作DE⊥x軸于點(diǎn)E，由點(diǎn)D的坐標(biāo)可以求出DE、OE的值，在Rt△DEB中由勾股定理可以求出BE的值進(jìn)而求出OB的值，可以代換出AC的值，設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建立方程組就可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)的過程中就會(huì)有AC=AO，OC=AC，OA=OC的不同情況下△AOC為等腰三角形，根據(jù)AC=OB的條件就可以求出其對(duì)應(yīng)的t值．
解答：解：（1）∵△AOD和△BDC是等邊三角形，
∴DC=DB，DA=DO，∠CDB=∠ODA=60°，
∴∠CDB-∠ADO=∠ODA-∠ADO，
∴∠CDA=∠ODB，
∴△BOD≌△CAD；
（2）作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵△BOD≌△CAD，
∴OB=AC，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-，1），
∴DE=1，OE=，
∴在Rt△BDE中，BD=CD=BC=7，由勾股定理，得
BE=4，
∴OB=3
∴AC=3．B（3，0）
如圖，設(shè)點(diǎn)C（x，y），在Rt△DHC和Rt△CGB中，由勾股定理，得
，解得或（不符合題意）
∴C（）．   
（3）如圖（1）當(dāng)OA=AC時(shí)，△AOC是等腰三角形，
∵OB=AC，
∴OA=OB=2，
∴t=3-2．

如圖（2），當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到B′時(shí)，C點(diǎn)落在OA的垂直平分線上C′時(shí)，△AOC是等腰三角形，△DB′C′是等邊三角形，連接OC′，
∴四邊形DB′OC′是菱形，
∴B′D=B′O=OC′，OE=1，C′E=，
∴OC′=，
∴t=+3=
如圖（2）當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到B″時(shí)，B″O=DO，這時(shí)AO=AC″，△AOC是等腰三角形，
∴OB″=2，
∴t=OB″+OB=3+2，
如圖（2）當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到B₃時(shí)，點(diǎn)C₃在AO的中垂線上時(shí)，△AOC₃是等腰三角形，
∴△B₃DO是Rt△，且∠DB₃O=60°，∠B₃OD=30°，
∴∠B3DO=90°，且OD=2，由勾股定理，得
∴OB₃=，
∴t=3+=，
∵點(diǎn)B、D、C要沿順時(shí)針方向排列，
∴t值不存在．
當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到B₅時(shí)，DB₅=DO=2，C點(diǎn)在第三象限，即C₅．
∴∠DB₅O=∠B₅OD=30°．
∵△B₅C₅D是等邊三角形，
∴∠B₅DC₅=60°，
∴DC₅⊥OB₅．
∴由勾股定理可以求出OB₅=，
∴OB₅=2，∴t=2+3=5
綜上所述：∴，t₄=5．
⑤
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．