Question

如圖拋物線y=x²+2x+1+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-3）．
（1）求拋物線的對稱軸及k的值；
（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得PB+PC的值最小，若存在，求此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點M是拋物線上一動點，且在第三象限．
①當(dāng)M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)；
②當(dāng)M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線y=x²+2x+1+k與y軸交于點C（0，-3），將點C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可；
（2）連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，求得A與C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式，則可求得此時點P的坐標(biāo)；
（3）①設(shè)點M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）²-4），即可得S_△AMB=

1

2

×4×|（x+1）²-4|，由二次函數(shù)的最值問題，即可求得△AMB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)；
②設(shè)點M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）²-4），然后過點M作MD⊥AB于D，由S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題的求解方法，即可求得四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=（x+1）²+k與y軸交于點C（0，-3），∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為：x=-1； 
（2）存在． 
如圖1，

連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，
當(dāng)y=0時，（x+1）²-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左側(cè)，
∴A（-3，0），C（0，-3），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
∴

0=-3k+b -3=b

，
解得：

k=-1 b=-3

，
∴直線AC的解析式為：y=-x-3，
當(dāng)x=-1時，y=-（-1）-3=-2，
∴點P的坐標(biāo)為：（-1，-2）； 
（3）①如圖2，

設(shè)點M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）²-4），
∵AB=4，
∴S_△AMB=

1

2

×4×|（x+1）²-4|=2|（x+1）²-4|，
∵點M在第三象限，
∴S_△AMB=8-2（x+1）²，
∴當(dāng)x=-1時，
即點M的坐標(biāo)為（-1，-4）時，△AMB的面積最大，最大值為8； 
②設(shè)點M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）²-4），
如圖3，過點M作MD⊥AB于D，
 
S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD=

1

2

×3×1+

1

2

×（3+x）×[4-（x+1）²]+

1

2

×（-x）×[3+4-（x+1）²]，
=-

3

2

（x²+3x-4）=-

3

2

（x+

3

2

）²+

75

8

，
當(dāng)x=-

3

2

時，y=（-

3

2

+1）²-4=-

15

4

，
當(dāng)點M（-

3

2

，-

15

4

）時，四邊形AMCB的最大面積，最大是

75

8

．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值問題，三角形與四邊形的面積問題以及線段和最短問題等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．